7高中物理强基计划习题七电势 电容器Word版含答案Word下载.docx

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3.在真空中，将半径为R的金属球接地，与球心O相距为r（r＞R）处放置一点电荷q，不计接地导线上电荷的影响．求金属球表面上的感应电荷总量．

4.地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100km，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．

5.两线输电线，其导线半径为3.26mm，两线中心相距0.50m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容．

6.电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。

当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。

假设金属片面积为50.0mm2，两金属片之间的距离是0.600mm。

如果电路能检测出的电容变化量是0.250pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？

7.盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1的长直导线作为一个电极，半径为R2的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率εｒ≈1的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以E1表示半径为R1的长直导线附近的电场强度．

（1）求两极间电势差的关系式；

（2）若E1＝2.0×

106V·

m－1，R1＝0.30mm，R2＝20.0mm，两极间的电势差为多少？

8.如图所示，半径R＝0.10m的导体球带有电荷Q＝1.0×

10－８C，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d＝0.10m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：

（1）离球心为r＝5cm、15cm、25cm处的D和E；

（2）离球心为r＝5cm、15cm、25cm处的V；

（3）极化电荷面密度σ′．

9.有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d．现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当

（1）充足电后；

（2）然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ＜d）、相对电容率为εｒ的电介质板；

（3）将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q和极板间的电场强度E．

10.利用电容传感器测量油料液面高度．其原理如图所示，导体圆管A与储油罐B相连，圆管的内径为D，管中心同轴插入一根外径为d的导体棒C，d、D均远小于管长L并且相互绝缘．试证明：

当导体圆管与导体棒之间接以电压为U的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为εｒ）．

参考答案：

1.将带电量为Q的导体板A从远处移至不带电的导体板B附近，如

图（ａ）所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板距离为d（）．

解　（１）如图（ｂ）所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得

解得

两导体板间电场强度为；

方向为A指向B．

两导体板间的电势差为

（2）如图（c）所示，导体板B接地后电势为零．

两导体板间的电势差为

解　导体球内表面感应电荷－q，外表面感应电荷q；

依照分析，球心的电势

为

解　金属球接地，其球心的电势

感应电荷总量

解　由于地球半径R1＝6.37×

106m；

电离层半径R2＝1.00×

105m＋R1＝6.47×

106m，根据球形电容器的电容公式，可得

解　可知两输电线的电势差

因此，输电线单位长度的电容

代入数据

解　按下按键时电容的变化量为

按键按下的最小距离为

解　

（1）由上述分析，利用高斯定理可得，则两极间的电场强度

导线表面（r＝R1）的电场强度

两极间的电势差

（2）当，R1＝0.30mm，R2＝20.0mm时，

解　

（1）取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得

r＜R　　　　　　

；

R＜r＜R＋d

；

r＞R＋d

将不同的r值代入上述关系式，可得r＝5cm、15cm和25cm时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外．

r1＝5cm，该点在导体球内，则

r2＝15cm，该点在介质层内，εｒ＝5.0，则

r3＝25cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0，则

（2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得

r3＝25cm，　

r2＝15cm，　

r1＝5cm，　

（3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε＝ε0，极化电荷可忽略．故在介质外表面；

在介质内表面：

介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号．

解　

（1）空气平板电容器的电容

充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为

（2）插入电介质后，电容器的电容C1为

故有

介质内电场强度　　

空气中电场强度　　　

（3）插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为

导体中电场强度

空气中电场强度

无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/εｒ

证　由分析知，导体A、C构成一组柱形电容器，它们的电容分别为

其总电容

其中

即导体管上所带电荷Q与液面高度X成正比，油罐与电容器联通．两液面等高，测出电荷Q即可确定油罐的液面高度．