三角函数图像教案.docx

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三角函数图像教案

适用学科

高中数学

适用年级

高一

适用区域

苏教版区域

课时时长（分钟）

2课时

知识点

正弦、余弦、正切函数的图象及性质

教学目标

1．能画出的图象，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与轴的交点等）．[来

3．理解正切函数在区间上的单调性．

教学重点

1．能画出的图象．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用．

教学难点

正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用.

【知识导图】

一、导入

本节课复习正弦、余弦、正切函数的图象及性质.

二、知识讲解

函数

图像

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

增：

减：

增：

减：

增

无减区间

对称

中心

对称轴

无

考点2如何求三角函数的值域

1.将化为来求；

2.型可换元转化为二次函数；

3.与同时存在时可换元转化；

4.（或）型，可用分离常数法或由来解决．

类型一求三角函数的定义域和最值

（1）函数y＝2sin（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（　　）

（2）函数y＝的定义域为______________________．

【规范解答】

（1）利用三角函数的性质先求出函数的最值．

∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，

∴sin∈.

∴y∈，∴ymax＋ymin＝2－.

（2）要使函数有意义，必须有，

即

故函数的定义域为{x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}．

【总结与反思】

（1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．

（2）求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再求最值（值域）；

②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；

③形如y＝asinxcosx＋b（sinx±cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域（最值）．

类型二三角函数的单调性、周期性

写出下列函数的单调区间及周期：

（1）y＝sin；

（2）y＝|tanx|.

【规范解答】

（1）y＝－sin，

它的增区间是y＝sin的减区间，

它的减区间是y＝sin的增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所给函数的减区间为，k∈Z；

增区间为，k∈Z.

最小正周期T＝＝π.

（2）观察图像可知，y＝|tanx|的增区间是，k∈Z，减区间是，k∈Z.

最小正周期T＝π.

【总结与反思】

（1）求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．

（3）求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．

类型三三角函数的奇偶性和对称性

（1）已知f（x）＝sinx＋cosx（x∈R），函数y＝f（x＋φ）的图像关于直线x＝0对称，则φ的值为________．

（2）如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图像关于点中心对称，那么|φ|的最小值为（　　）

【规范解答】

（1）f（x）＝2sin，

y＝f（x＋φ）＝2sin图像关于x＝0对称，

即f（x＋φ）为偶函数．

∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，

又∵|φ|≤，∴φ＝.

（2）由题意得3cos＝3cos

＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.

【总结与反思】

若f（x）＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则当x＝0时，f（x）取得最大值或最小值．

若f（x）＝Asin（ωx＋φ）为奇函数，则当x＝0时，f（x）＝0.

如果求f（x）的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x.

如果求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z）即可．

类型四三角函数的单调性、对称性

（1）已知ω>0，函数f（x）＝sin（ωx＋）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）

（2）已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）＋b对任意实数x有f（x＋）＝f（－x）成立，且f（）＝1，则实数b的值为.

【规范解答】

（1）由

由题意知（ω＋，πω＋）⊆[，]，

∴，∴≤ω≤，故选A.

（2）由f（x＋）＝f（－x）可知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）＋b关于直线x＝对称，又函数f（x）在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.

【总结与反思】

（1）对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．

（2）函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的图像与其对称轴的交点是最值点.

四、课堂运用

1.函数y＝cos（－2x）的单调减区间为________．

2．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的最大值为________．

3.已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<），y＝f（x）的部分图像如图，则f（）＝________.

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】由y＝cos（－2x）＝cos（2x－）得

2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），

故kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）．

所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）．

2.【答案】同解析

【解析】由正弦函数的图像知（b－a）max＝－＝.

3.【答案】同解析

【解析】由题中图像可知，此正切函数的半周期等于－＝，即最小正周期为，

所以ω＝2.由题意可知，图像过定点（，0），

所以0＝Atan（2×＋φ），即＋φ＝kπ（k∈Z），

所以φ＝kπ－（k∈Z），

又|φ|<，所以φ＝.

又图像过定点（0,1），所以A＝1.

综上可知，f（x）＝tan（2x＋），

故有f（）＝tan（2×＋）＝tan＝.

1.设函数f（x）＝sin（－π<φ<0），y＝f（x）图像的一条对称轴是直线x＝.

（1）求φ；

（2）求函数y＝f（x）的单调增区间．

2．设函数f（x）＝sin（－）－2cos2＋1.

（1）求f（x）的最小正周期．

（2）若函数y＝g（x）与y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g（x）的最大值．

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】

（1）令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，

又－π<φ<0，则φ＝－.

（2）由

（1）得：

f（x）＝sin，

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

因此y＝f（x）的单调增区间为，k∈Z.

2.【答案】同解析

【解析】

（1）f（x）＝sincos－cossin－cos

＝sin－cos

＝sin（－），

故f（x）的最小正周期为T＝＝8.

（2）方法一　在y＝g（x）的图像上任取一点（x，g（x）），

它关于x＝1的对称点（2－x，g（x））．

由题设条件，知点（2－x，g（x））在y＝f（x）的图像上，

从而g（x）＝f（2－x）＝sin[（2－x）－]

＝sin[－－]

＝cos（＋）．

当0≤x≤时，≤＋≤，

因此y＝g（x）在区间[0，]上的最大值为

g（x）max＝cos＝.

方法二　区间[0，]关于x＝1的对称区间为[，2]，

且y＝g（x）与y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称，

故y＝g（x）在[0，]上的最大值为

y＝f（x）在[，2]上的最大值．

由

（1）知f（x）＝sin（－），

当≤x≤2时，－≤－≤.

因此y＝g（x）在[0，]上的最大值为

g（x）max＝sin＝.

1.设．

（1）求的定义域；

（2）求的值域及取最大值时x的值．

2．已知函数．

（1）求的值；

（2）试写出一个函数，使得，并求的单调区间．

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】

（1）由1－2sinx≥0，根据正弦函数图像知：

定义域为．

（2）因为－1≤sinx≤1，所以－1≤1－2sinx≤3，

因为1－2sinx≥0，所以0≤1－2sinx≤3，

所以f（x）的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f（x）取得最大值．

2.【答案】同解析

【解析】

（1）因为f（x）＝sin，所以f＝sin＝sin＝．

（2）g（x）＝cosx－sinx．理由如下：

因为g（x）f（x）＝（cosx－sinx）（sinx＋cosx）＝cos2x－sin2x＝cos2x，

所以g（x）＝cosx－sinx符合要求．

又g（x）＝cosx－sinx＝cos，

由2kπ＋π

所以g（x）的单调递增区间为，k∈Z．

课程小结

1.正弦函数的图象及性质.

2.余弦函数的图象及性质.

3.正切函数的图象及性质.

六、课后作业

1．函数y＝的定义域是.

2．设函数f（x）＝3sin（x＋），若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1－x2|的最小值为________．

3．已知函数f（x）＝cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：

①若f（x1）＝－f（x2），则x1＝－x2；

②f（x）的最小正周期是2π；

③f（x）在区间[－，]上是增函数；

④f（x）的图像关于直线x＝对称．

其中真命题是________．

答案与解析

1.【答案】[kπ，kπ＋]（k∈Z）

【解析】|sinx＋cosx|－1≥0⇒（sinx＋cosx）2≥1

⇒sin2x≥0，∴2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，

故原函数的定义域是[kπ，kπ＋]（k∈Z）．

2.【答案】2

【解析】f（x）＝3sin（x＋）的周期T＝2π×＝4，

f（x1），f（x2）应分别为函数f（x）的最小值和最大值，

故|x1－x2|的最小值为＝2.

3.【答案】③④

【解析】　f（x）＝sin2x，当x1＝0，x2＝时，

f（x1）＝－f（x2），但x1≠－x2，故①是假命题；

f（x）的最小正周期为π，故②是假命题；

当x∈[－，]时，2x∈[－，]，故③是真命题；

因为f（）＝sinπ＝－，

故f（x）的图像关于直线x＝π对称，故④是真命题．

1．已知函数f（x）＝sin2x－cos2x＋1.

（1）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值；

（2）求f（x）的单调区间．

2．已知a>0，函数f（x）＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f（x）≤1.

（1）求常数a，b的值；

（2）设g（x）＝f且lgg（x）>0，求g（x）的单调区间．

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】

（1）f