全国各地高考数学分类汇编9数列Word文档格式.docx
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8.等差数列的前项和为，，，则
9.若等差数列和等比数列满足，，则
三、解答题（共11小题；
共143分）
10.已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
11.已知是各项均为正数的等比数列，且，．
（1）求数列通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前项和为，已知，求数列的前项和．
12.已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，．
13.已知等差数列和等比数列满足，，．
（1）求的通项公式；
（2）求和：
14.已知是各项均为正数的等比数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积．
15.对于给定的正整数，若数列满足：
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：
等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”又是“数列”证明：
是等差数列．
16.设数列满足．
（2）求数列的前项和．
17.记为等比数列的前项和．已知，．
（2）求，并判断，，是否能成等差数列．
18.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求．
19.设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数．
（1）若，，求，，的值，并证明是等差数列；
（2）证明：
或者对任意正数，存在正整数，当时，；
或者存在正整数，使得，，，是等差数列．
20.已知数列满足：
，，证明：
当时，
（1）；
（2）；
（3）．
答案
第一部分
1.A【解析】设该数列为，设，则，
由题意可设数列的前项和为，数列的前项和为，则．
可知当为时，数列的前项和为数列的前项和，即为．
容易得到时，，
A项，由，，可知，故A项符合题意．
B项，仿上可知，可知，显然不为的整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知，可知，显然不为的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知，可知，显然不为的整数幂，故D项不符合题意．
方法二：
由题意可知：
，，，，，
根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：
每项含有的项数为：
总共的项数为，
所有项数的和为
为的整数幂．只需将消去即可，
则①，解得：
，总共有，不满足，
②，解得：
③，解得：
④，解得：
，总共有，满足．
所以该款软件的激活码为．
2.B3.A【解析】因为等差数列的首项为，公差不为．
，，成等比数列，
所以，
所以，且，，
解得，
所以前项的和为．
4.C5.C
第二部分
6.
7.
8.
【解析】等差数列的前项和为，，，，
可得，数列的首项为，公差为，
，，
则
9.
第三部分
10.
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由已知，得，而，
所以．
又因为，解得．
所以，．
由，可得
联立，解得，，由此可得．
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
得．
所以，数列的前项和为．
11.
（1）记正项等比数列的公比为，
因为，，
所以，，解得：
，
所以；
（2）因为为各项非零的等差数列，
又因为，
所以，
所以，，两式相减得：
，即，即
12.
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由，可得．
由，可得，联立①②，解得，，由此可得．
所以，的通项公式为，的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，由，有，，上述两式相减，得
13.
（1）等差数列，，，
可得：
，解得，
所以的通项公式：
（2）由（Ⅰ）可得，
等比数列满足，，
可得（等比数列奇数项符号相同），
所以，是等比数列，公比为，首项为，
．
14.
（1）设数列的公比为，则，
由题意得
两式相比得：
，解得或（舍），
（2）过，，，，向轴作垂线，垂足为，，，，，
即梯形的面积为，
则，
所以
得：
15.
（1）设等差数列首项为，公差为，则，
所以等差数列是“数列”．
（2）由数列是“数列”则当时，
数列是“数列”当时，
由可知：
由，
整理得：
，其中，
所以，，，是等差数列，设其公差为，
在中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
16.
（1）数列满足．
时，．
以上两式相减，得
当时，，上式也成立．
（2）由（）得．
所以数列的前项和
17.
（1）设等比数列首项为，公比为，
则，则，，
由，，整理得：
，解得：
则，，
所以的通项公式；
（2）由（）可知：
即，
所以，，成等差数列．
18.
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，，
可得，，
解得，或，（舍去），
则的通项公式为；
（2），，
可得，
当时，，，，；
当时，，，，．
19.
（1），，，，，，
当时，，
下面证明：
对，且，都有，
当，且时，
由，且，
则，则，
因此，对，且，，，
又，
所以对均成立，
（2）设数列和的公差分别为，，下面考虑的取值，
由，，，，
考虑其中任意（，且），
下面分，，三种情况进行讨论，
①若，则，
当若，则，
则对于给定的正整数而言，，此时，
所以数列是等差数列；
当，，
则对于给定的正整数而言，，
此时，
此时取，则，，，是等差数列，命题成立；
②若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数，
故必存在，使得时，，
则当时，
因此当时，，
此时，故数列从第项开始为等差数列，命题成立；
③若，此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数，
因此，当时，，
此时
令，，，
对任意正整数，存在正整数，使得，，
若，取，表示不大于的最大整数，
此时命题成立；
若，取，
此时命题成立，
因此对任意正数，存在正整数，使得当时，；
综合以上三种情况，命题得证．
20.
（1）用数学归纳法证明：
，当时，，成立，
假设当时成立，则，那么时，若，则，矛盾，故，因此，
所以，因此．
（2）由得，
记函数，，
所以在上单调递增，
因此，
故．
（3）因为，
由得，
综上所述．
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