平面解析几何初步知识要点文档格式.docx
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点斜式
y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)——直线上已知点
k——斜率
倾斜角为90°
的直线不适用
斜截式
y=kx+b
b——纵截距
的直线不适用(y轴,即x=0)
两点式
=
(x1,y1),(x2,y2)是直线上两个已知点
与两坐标轴垂直的直线不适用
截距式
+=1
a——直线的横截距
b——直线的纵截距
过(0,0)及与两坐标轴垂直的直线不适用
一般式
Ax+By+C=0
,,分别为斜率、横截距和纵截距
A、B不能同时为零
注意:
直线五种形式间的转化.
三、解析法:
通过直角坐标系,利用代数方法证明几何命题的方法称为解析法,解析法证题的一般步骤为:
1、建标:
建立适当的直角坐标系;
2、设点:
根据已知条件,写出已知点的坐标(不要特殊化);
3、列式:
根据已知条件,建立关系式;
4、化简:
进行等价变形和转化;
5、结论:
将代数和结论转化为几何结论.
四、注意:
(1)要注意倾斜角的范围,要注意斜率存在的条件;
(2)要注意直线方程的几种形式各自的适用范围,特别是在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要防止由于“无斜率”而漏解,在解与截距有关的问题时,要防止“零截距”漏解现象;
(3)在利用解析法证明时,注意几个步骤,防止特殊化.
五、两直线的位置关系
直角坐标平面内两条直线的位置关系有:
平行、重合、相交(垂直)
(一)两直线平行或垂直的判断
判断两直线是否平行(重合)或垂直时,若两直线的斜率都存在,可以用斜率的关系来判断;
若直线的斜率不存在,则可以用一般式的平行垂直条件来判断.
1、对于两条直线l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2,有以下结论:
(1)l1∥l2k1=k2,且b1≠b2;
(2)l1、l2重合k1=k2,且b1=b2;
斜率不存在时,l1∥l2,则l1:
x=c1,l2:
x=c2且c1≠c2;
(3)l1⊥l2k1·
k2=,
斜率不存在时,l1l2,则l1:
y=c2.
2、对于两条直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,
(1)当A2,B2,C2都不为零时,有以下结论:
1)l1∥l2=≠;
2)l1与l2重合==;
3)l1与l2相交≠;
4)l1⊥l2A1A2+B1B2=0.
(2)当A1,A2,B1,B2,C1,C2∈R时,有以下结论:
1)l1∥l2A1B2=A2B1,A1C2≠A2C1,或B1C2≠B2C1;
2)l1与l2重合A1B2=A2B1,A1C2=A2C1,且B1C2=B2C1;
3)l1与l2相交A1B2≠A2B1;
(二)与已知直线平行或垂直直线的求法
求与已知直线平行或垂直的直线一般采用待定系数法.
1、对于直线l:
y=kx+b,可以这样假设l/:
(1)l/∥l时,设l/:
y=kx+b/,且b/≠b;
(2)l/⊥l时,设l/:
y=x+b/(k≠0);
斜率不存在,l/∥l时,则l:
x=c,可设l/:
x=c/,且c/≠c;
l/⊥l时,则l:
y=c/;
斜率k=0,l/⊥l时,则l:
y=c,可设l/:
x=c/。
2、对于直线l:
Ax+By+C=0,可以这样假设l/:
Ax+By+C/=0,且C/≠C;
Bx-Ay+C/=0.
(三)直线l1与l2的交点、直线系方程
直线l1与l2交点对于两条直线l1:
当A1B2≠A2B1时,l1与l2相交。
(1)方程组的解即l1与l2交点P坐标;
(2)直线l:
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点P的一系列直线(但不含直线l2),
(3)当A1B2=A2B1,A1C2≠A2C1,或B1C2≠B2C1时,l1∥l2,
直线l:
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示与l1平行或重合的一系列直线(但不含直线l2),
(4)直线l:
λ(A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点P或与l1与l2平行或重合的一系列直线.
利用上面的直线系方程可证明有关直线过定点问题等.
六、两点、点到直线、两平行线间的距离
1、两点P1(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=,
当x1=x2时,|P1P2|=|y1-y2|,当y1=y2时,|P1P2|=|x1-x2|。
2、点P(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离公式d=,
当l:
y=kx+b时,d=,
x=a时,d=|a-x0|,当l:
y=b时,d=|b-y0|。
3、两平行直线l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0间的距离公式d=,
当l1:
y=kx+b1,l2:
y=kx+b2时,d=,
x=c1,l2:
x=c2时,d=|c1-c2|,
y=c1,l2:
y=c2时,d=|c1-c2|.
七、对称问题
1、点关于点对称
(1)点P(a,b)关于M(m,n)的对称点Q(2m-a,2n-b),
(2)点P(a,b)关于原点O(0,0)的对称点Q(-a,-b).
2、点关于直线对称
点P(a,b)关于直线l:
Ax+By+C=0的对称点Q的求法:
方法一、设Q(c,d),P、Q中点M(,),由
解得c,d,得Q(c,d);
方法二、设P、Q中点M(m,n),由
解得m,n,得M(m,n),再得Q(2m-a,2n-b).
点P(a,b)关于直线l:
x=m的对称点Q(2m-a,b);
关于直线l:
x=0(y轴)的对称点Q(-a,b);
y=n的对称点Q(a,2n-b);
y=0(x轴)的对称点Q(a,-b);
x–y+c=0的对称点Q(b–c,a+c);
y=x的对称点Q(b,a);
x+y+c=0的对称点Q(-b-c,-a-c);
y=-x的对称点Q(-b,-a).
2、直线关于点对称
Ax+By+C=0关于点M(m,n)的对称直线l/的求法:
方法一、设P(x,y)是直线l/上任意一点,则P(x,y)关于点M(m,n)
的对称点Q(2m-x,2n-y)在l上,有A(2m-x)+B(2n-y)+C=0,
从而得直线l/:
Ax+By-2mA-2nB-C=0;
方法二、可知直线l/∥l,可设直线l/:
Ax+By+C/=0,由M(m,n)
到l和l/的距离相等得直线l/:
Ax+By+C=0关于点O(0,0)的对称直线l/:
Ax+By-C=0.
3、直线关于直线对称
直线l1:
A1x+B1y+C1=0关于直线l:
Ax+By+C=0的对称直线
l2的求法:
设P(x,y)是直线l2上任意一点,用x,y表示P关于直线l:
Ax+By+C=0的对称Q(x/,y/),将Q的坐标代入方程A1x+B1y+C1=0直线l2的方程.
Ax+By+C=0关于直线l:
x=m的对称直线l2:
A(2m-x)+By+C=0;
x=0(y轴)的对称直线l2:
A(-x)+By+C=0;
y=n的对称直线l2:
Ax+B(2n-y)+C=0;
y=0(x轴)的对称直线l2:
Ax+B(-y)+C=0;
x–y+c=0的对称直线l2:
A(y-c)+B(x+c))+C=0;
y=x的对称直线l2:
Ay+Bx+C=0;
x+y+c=0的对称直线l2:
A(-y-c)+B(-x-c))+C=0;
y=-x的对称直线l2:
Ay+Bx-C=0.
4、曲线关于点对称
曲线C:
f(x,y)=0关于点M(m,n)的对称曲线C/:
f(2m-x,2n-y)=0;
f(x,y)=0关于原点O(0,0)的对称曲线C/:
f(-x,-y)=0.
5、曲线关于直线对称
f(x,y)=0关于直线l:
Ax+By+C=0的对称曲线C/的求法:
设P(x,y)是曲线C/上任意一点,用x,y表示P关于直线l的对称点Q(x/,y/),将Q的坐标代入方程f(x,y)=0,求得曲线C/:
f/(x,y)=0.
f(x,y)=0关于关于直线l:
x=m的对称曲线C/:
f(2m-x,y)=0;
x=0(y轴)的对称曲线C/:
f(-x,y)=0;
y=n的对称曲线C/:
f(x,2n-y)=0;
y=0(x轴)的对称曲线C/:
f(x,-y)=0;
x–y+c=0的对称曲线C/:
f(y-c,x-c)=0;
y=x的对称曲线C/:
f(y,x)=0;
x+y+c=0的对称曲线C/:
f(-y-c,-x-c)=0;
y=-x的对称曲线C/:
f(-y,-x)=0.
八、圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹),即P={M||MC|=r},定点C就是圆心,定长就是半径.
九、圆的方程的三种形式
1、圆C的标准方程C:
(x-a)2+(y-b)2=r2,
圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r;
2、圆的一般方程C:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>
0),
圆心坐标为C(-,-),圆的半径为r=;
方程C:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是:
A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>
0。
3、圆的参数方程:
(其中为参数,且),
圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r.
4、以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程为C:
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
5、要注意各种形式的圆方程的适用范围,确定圆的方程需要有三个互相独立的条件:
,,或D,E,F.
5、求解有关圆的问题时,要注意到平面几何有关知识的应用,如圆的切线的性质,圆的弦、圆中的角的特点等.
十、点与圆的位置关系
设点P(x0,y0),圆C:
(x-a)2+