届江西省景德镇市高三第二次质量检测二模数学理试题解析版文档格式.docx
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【详解】由题意得,
所以,
所以,所以复数在复平面内对应的点为（3,-2）在第四象限
【点睛】本题考查两复数相对的概念,即两复数实部与实部相等,虚部与虚部相等,属基础题。
3.袋子中有四张卡片,分别写有“瓷、都、文、明”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件,用随机模拟的方法估计事件发生的概率.利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“瓷、都、文、明”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数：
232
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
031
320
122
103
233
由此可以估计事件发生的概率为（）
A.B.C.D.
事件A即为表中包含数字0和1的组,根据表中数据,即可求解
【详解】事件A包含“瓷”“都”两字,即包含数字0和1,随机产生的18组数中,包含0,1的组有021,001,130,031,103,共5组,故所求概率为,故选C
【点睛】本题考查古典概型,熟记概率计算公式即可,属基础题
4.设函数,若角的终边经过,则的值为（）
A.B.1C.2D.4
由题意得,代入分段函数,即可求解。
【详解】因为角的终边经过,所以,所以,则,故选C
【点睛】本题考查三角函数的概念,分段函数求值,考查计算化简的能力,属基础题。
5.已知实数,满足不等式组,若的最小值为9,则实数的值等于（）
A.3B.5C.8D.9
【答案】B
先由不等式组画出可行域,再画出目标函数确定在点取得最小值,代入求解出即可.
【详解】解：
如图,画出不等式组代表的可行域如图中阴影部分
因为,可画出目标函数所代表直线如图中虚线所示,
且过点A处目标函数最小
由,解得
代入目标函数,得
故选：
B.
【点睛】本题考查了简单线性规划,目标函数中含有参数时可先观察其所代表的直线特点画出其可能的图像,然后分析其最优解.
6.若直线（,）过点,当取最小值时直线的斜率为（）
A.2B.C.D.
【答案】A
将点带入直线可得,利用均值不等式“1”的活用即可求解。
【详解】因为直线过点,所以,即,
所以
当且仅当,即时取等号
所以斜率,故选A
【点睛】本题考查均值不等式的应用,考查计算化简的能力,属基础题。
7.执行如下图所示的程序框图,则输出的结果为（）
A.B.C.D.4
执行框图,写出每次循环得到的和i的值,得到取值的周期,当i=2019时,退出循环,输出即可得答案。
【详解】开始=4,i=1,
执行第一次循环,=,i=2,
执行第二次循环,=,i=3,
执行第三次循环,=4,i=4
故的取值周期为3,由于2019=6073,可得
当i=2019时,退出循环,此时输出的值为,故选B
【点睛】本题考查循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的和i的值,根据循环的周期,得到退出循环时的的值,属基础题。
8.已知正四面体的内切球的表面积为,过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体,则所得截面的面积为
先由内切球表面积求出其半径,结合图像,找出球心半径,用相似三角形列方程求出正四面体边长,再求出所需截面即可.
由内切球的表面积,得内切球半径
如图,过点作平面,则点为等边的中心
连接并延长交于点,且点为中点,连接
记内切球球心为,过作,设正四面体边长为
则,,,
又因为,所以
由,得,即,解得
因为过棱和球心,所以即为所求截面
且
C.
【点睛】本题考查了空间几何体的内切球,找到球心求出半径是解题关键.
9.已知同时满足下列三个条件：
①时,的最小值为
②是偶函数：
③
若在有最小值,则实数的取值范围可以是（）
先由①求出最小正周期,得出,再由②求出的可能值,并由③确定的取值,从而求出函数解析式,然后由函数由最小值且左端点取不到,所以图像必过最低点列出不等式解出的范围,得到符合的选项.
因为函数最大值为2,最小值为－2,由①知,相邻最高最低点即
又因为为偶函数
所以,即
又因为
当时,
此时函数由最小值,所以,即
只有选项D满足
D.
【点睛】本题考查了三角函数的解析式的求法,正弦型函数的图像与性质,属于中档题.
10.已知点在双曲线上,,分别为双曲线的左右焦点,若外接圆面积与其内切圆面积之比为.则双曲线的离心率为（）
A.B.2C.或D.2或3
是直角三角形,其外接圆的半径是斜边的一半,根据等面积法可用a、b、c表示出内切圆的半径,再由外接圆面积与其内切圆面积之比为可得双曲线的离心率.
【详解】由于为直角三角形,故外心在斜边中线上.由于,所以,故外接圆半径为.设内切圆半径为,根据三角形的面积公式,有,解得,由题意两圆半径比为,故,化简得,解得或,故选D.
【点睛】本题考查利用双曲线的性质求离心率,属于中档题；
求离心率的常用方法有以下两种：
（1）求得的值,直接代入公式求解；
（2）列出关于的齐次方程（或不等式）,然后根据,消去后转化成关于的方程（或不等式）求解．
11.定义在上的函数满足,对任意,都有,非零实数,满足,则下列关系式中正确的是（）
先构造函数,易得为偶函数,且在上单调递减,然后将不等式等价转化我,得,即,得出选项.
记,则
因为当时,,
所以在上单调递减
又因为,所以为偶函数
因为
【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的应用,结合条件特点巧妙构造函数是解题关键.
12.已知,为坐标原点,为的一条切线,点为上一点且满足（其中,）,若关于,的方程存在两组不同的解,则实数的取值范围为（）
先由两边平方,得到的一元二次方程在方程上有两解得到的取值范围,再由
得到与之间的关系,从而求出的范围.
由,得半径为,
因为为的一条切线,所以,,
,
即
化简得,在上有两解
解得
A.
【点睛】本题考查了向量的数量积及其应用,一元二次方程实根的分布,综合性较强,属于难题.
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知的展开式中第5项为常数项,则该式中所有项系数的和为_________.
【答案】-32
先写出二项式展开式中第5项,因为第5项为常数项解出,然后令得各项系数和.
因为,且第5项为常数项
令,得所有项系数和为
故答案为：
【点睛】本题考查了二项式定理的展开通项式,以及各项系数和问题,属于基础题.
14.已知两个单位向量,的夹角为,,,则_________.
【答案】
结合数量积公式,代入数据,即可求解。
【详解】==,所以,故答案为。
【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用,属基础题
15.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为.若,则_________.
利用同角基本关系式,可得,代入所求,结合辅助角公式,即可求解。
【详解】因为,,所以,
所以,故答案
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式,辅助角公式,考查计算化简的能力,属基础题
16.函数的图像经过四个象限,则实数的取值范围是_________.
先分析得当时,；
当时,,记,利用导数分析得单调性,结合函数的特殊值,且函数图像经过四个象限,分类讨论求解的取值范围即可.
当时,；
①当时,恒成立,且只有,所以在R上单调递增
又,所以当时,,；
当时,,
所以图像经过第一、二两个象限,不符合题意
②当时,令,得
当和时,,单调递增；
当时,,单调递减
因为函数的图像经过四个象限
③当时,令,得
综上所述：
或
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图像,综合性较强,属于难题.
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题,考生根据要求作答.
17.已知首项为1的等差数列的前项和为,已知为与的等差中项.数列满足.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
（1）,；
（2）
（1）由为与的等差中项,所以,列出方程解出,求出、、即可；
（2）因为,由错位相减法求和即可.
（1）设等差数列的公差为,因为为与的等差中项
所以,即,解得：
.
（2）,
下式减上式,即：
【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算,错位相减法求和,当待求和数列的通项为等差乘以等比数列的结构时一般采用错位相减求和.
18.如图,在四棱锥中,,,,平面平面,.
（1）求证：
平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值,
（1）见解析；
（1）结合题中数据在四边形中证得,由平面面,得平面,所以,又,可得平面；
（2）以坐标原点,分别以在的直线为、轴,在底面内点过点作垂线为轴建立空间直角坐标系,写出各点坐标,分别求出平面与平面的法向量,然后计算其夹角,由二面角的平面角与法向量的关系得到答案.
【详解】解
（1）,,.
根据勾股定理可知.
又平面面,且平面平面,
平面..
又,平面.
（2）以坐标原点,分别以在的直线为、轴,在底面内点过点作垂线为轴建立空间直角坐标系.
所以,,
设平面法向量为,
则,
取,,
平面一个法向量为,
设平面
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