专题三十二与动点有关的圆弧型路径轨迹问题探究带答案Word文档格式.docx

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∵等边三角形ABC的边长为6cm，∴．

由图可知，旋转角为

∴边的中点运动的路径长是：

【答案】B

典型例题引

类型一：

利用动点的产生的圆弧型路径轨迹来求最值

【例1】如图，点C和点D在以O为圆心、AB为直径的半圆上，且∠COD=90°

，AD与BC交于点P，若AB=2，则△APB面积的最大值是　．

【分析】首先可以证明∠APB=135°

，从而得出点P的运动轨迹是以AB为弦，圆周角为135°

的一段弧，再由题意推出当PO⊥AB时，即PA=PB时，△PAB的面积最大，易得DP=DB，设DP=DB=x，则PA=PB=x，在Rt△ADB中，利用AD2+BD2=AB2，列出方程即可解决问题

【解答】连接BD、DC．∵∠COD=90°

，

∴∠AOC+∠DOB=90°

，∵∠PAB=∠DOB，∠PBA=∠AOC，

∴∠PAB+∠PBA=45°

，∴∠APB=135°

∴点P的运动轨迹是以AB为弦，圆周角为135°

的弧上运动，

∴当PO⊥AB时，即PA=PB时，△PAB的面积最大，

∵∠PDB=90°

，∠DPB=45°

∴DP=DB，设DP=DB=x，则PA=PB=x，

在Rt△ADB中，∵AD2+BD2=AB2，

∴（x+x）2+x2=22，∴x2=2﹣，

∴△PAB的面积的最大值=•PA•BD=•x•x=•（2﹣）=﹣1．[来源:

Z_xx_k.Com]

故答案为﹣1．

类型二：

利用动点的产生的圆弧型路径轨迹来求运动路径长

【例2】如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．

（1）∠OMP的度数为；

（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为cm．

【分析】

（1）先判断出∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，再用三角形的内角和定理即可得出结论；

（2）分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO=135°

，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'

C=90°

，最后用弧长公式即可得出结论．

【详解】

（1）∵△OPE的内心为M，∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，

∴∠PMO=180°

﹣∠MPO﹣∠MOP=180°

﹣（∠EOP+∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO=90°

﹣（∠EOP+∠OPE）=180°

﹣（180°

﹣90°

）=135°

；

故填135°

（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，而∠MOP=∠MOC，

∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO=∠PMO=135°

所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°

的两段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；

点M在扇形BOC内时，

过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，在优弧CO取点D，连DA，DO，

∵∠CMO=135°

，∴∠CDO=180°

﹣135°

=45°

，∴∠CO′O=90°

而OA=4cm，∴O′O=OC=×

4=2，

∴弧OMC的长==π（cm），

同理：

点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，

所以内心M所经过的路径长为2×

π=2πcm．故填2π

强化练习

1．如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）

【详解】连接AC，AO．

∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG=BG=AB．

∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG=2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：

AG==2，∴AB=2AG=4．

又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：

AC==4．∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；

当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长弧AG．在Rt△ACG中，tan∠ACG==，∴∠ACG=30°

，∴弧AG所对圆心角的度数为60°

．

∵直径AC=4，∴弧AG的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选D．

2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC=24,,点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E,当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（）

【详解】如图1，∵CE垂直直线OD于点E，

∴当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径是以OC的中点K为圆心，以OC为半径的一段圆弧，

当D与B重合时，如图2，E和L重合．

∵∠A=60°

，∴∠BOC=120°

，∴∠COE=60°

．∵OK=KL，

∴△OKL是等边三角形，∴∠OKL=60°

当D运动到C时，如图3，D、E、C三点重合，

此时∠OKC=180°

，∴E运动的圆弧的圆心角为240°

过O作OM⊥BC于M，如图3，则BM=BC=12．

∵∠BOC=120°

，OB=OC，

∴∠MBO=（180°

-120°

）÷

2=30°

∴OM=，OB=2OM=，∴OK=OB=，

∴点E经过的路径长为=．故选C．

3．如图，线段EF的长为4，O是EF的中点，以OF为边长做正方形OABC，连接AE、CF交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°

止，则点P运动的路径长为（）

A．B．C．2πD．

【详解】如图，连接AC．首先证明∠EPF=135°

，推出点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是弧PEF，

在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°

﹣∠EPF=45°

推出∠EKF=2∠M=90°

，因为EF=4，所以KE=KF=，

根据弧长公式计算可得P运动的路径长==故选B．

4．如图，等边三角形OPQ的边长为2，以O为圆心，AB为直径的半圆经过点P，点Q，连接AQ，BP相交于点C，将等边三角形OPQ从OA与OP重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120度，则交点C运动的路径是（　　）

解：

如图，∵，∴，

∴,

∴点C的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形△ABD的外接圆的半径，

∴设等边三角形△ABD的外接圆的半径为r，

则有：

，即，∴，

∴点C运动的路径．故选：

B．

5．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°

，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（　　）

A．12πB．8πC．6πD．4π

【详解】如图，作△ABC的外接圆⊙O，△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径是2弧PP′的长．

当AD⊥BD时，∵AB=2AD，∴∠ABD=30°

∵∠ABC=45°

，∴∠OBP=15°

∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP=15°

∴∠POC=∠OPB+∠OBP=30°

当AE′⊥CE′时，同理可得∠BOP′=30°

，∴∠POP′=120°

∵AC=AB=6，∠BAC=90°

，∴BC=AB=12，∴OP=6，

∴弧PP′的长==4π，∴点P的运动路径是8π．故选B．

6．（2019年武汉市）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（　　）

【解答】如图，连接EB．设OA＝r．

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°

，∵E是△ACB的内心，

∴∠AEB＝135°

，∵∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝DB＝r，∴∠ADB＝90°

易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，

∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α

∴＝＝．故选：

A．

7.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，则线段CP的最小值为．

如图：

由于点P在运动中保持∠APD=90°

∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，

设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．

8．如图，边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为________．

【详解】如图所示：

设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，

∵AB=，AO=BO=，∴AB=AO=BO，

∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠OAB=60°

△FAO是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120°

∠DAF=120°

-90°

=30°

，即旋转角为30°

∴∠EAC=30°

，∠GFE=∠FAD=120°

，∵AD=AB=，∴AC=2，

∴当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为=（）π；

故答案为：

（）π

9．如图，BC是⊙O的直径，BC=，D，E是直径BC上方半圆上不与B、C重合的两点，且∠DOE=90°

，△ABC的内心为P，当点A在弧DE上从点D运动到点E时，点P运动的路径长是

【详解】如图，作OT⊥BC交⊙O于T，连接BT，TC，以T为圆心，TB为半径作⊙T，在优弧BC上取一点G，连接BG,CG，

∵BC是直径,∴∠BAC=90°

∵P是△ABC的内心,∴∠CPB=90°

+∠BAC=135°

∵OT⊥BC，OC=OB，∴TC=TB，∠CTB=90°

，∴∠CGB=∠CTB=45°

.∴∠CPB+∠G=180°

.∴点B,P，C，G四点共圆,∴点I的运动轨迹是弧MN，由题意可知∠DTE=∠DOE=45°

.在Rt△BCT中，BC=，∴TB=TC=2.∴TB=TM=2.

∴点P的运动路径长为.故填.

10．如图，已知点D，E是半圆O上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC，点I是△ABC的内心，若⊙O的半径为3，当点C从点D运动到点E时，点I随之运动形成的路径长是_____．

【详解】如图，连接AI，BI，作OT