专题三十二与动点有关的圆弧型路径轨迹问题探究带答案Word文档格式.docx

1、等边三角形ABC的边长为6cm，由图可知，旋转角为边的中点运动的路径长是： 【答案】B典型例题引类型一：利用动点的产生的圆弧型路径轨迹来求最值【例1】如图，点C和点D在以O为圆心、AB为直径的半圆上，且COD=90，AD与BC交于点P，若AB=2，则APB面积的最大值是 【分析】首先可以证明APB=135，从而得出点P的运动轨迹是以AB为弦，圆周角为135的一段弧，再由题意推出当 POAB时，即PA=PB时，PAB的面积最大，易得DP=DB，设DP=DB=x，则PA=PB=x，在RtADB中，利用AD2+BD2=AB2，列出方程即可解决问题【解答】连接BD、DCCOD=90，AOC+DOB=9

2、0，PAB=DOB，PBA=AOC，PAB+PBA=45，APB=135点P的运动轨迹是以AB为弦，圆周角为135的弧上运动，当POAB时，即PA=PB时，PAB的面积最大，PDB=90，DPB=45DP=DB，设DP=DB=x，则PA=PB=x，在RtADB中，AD2+BD2=AB2，（x+x）2+x2=22，x2=2，PAB的面积的最大值=PABD=xx=（2）=1来源:Z_xx_k.Com故答案为1类型二：利用动点的产生的圆弧型路径轨迹来求运动路径长【例2】如图，AB为O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OCAB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PEOC于点E，设OPE的内心为M

3、，连接OM、PM（1）OMP的度数为 ；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为 cm【分析】（1）先判断出MOP=MOC，MPO=MPE，再用三角形的内角和定理即可得出结论；（2）分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出CMO=135，进而判断出点M的轨迹，再求出OOC=90，最后用弧长公式即可得出结论【详解】（1）OPE的内心为M，MOP=MOC，MPO=MPE，PMO=180MPOMOP=180（EOP+OPE），PEOC，即PEO=90（EOP+OPE）=180（18090）=135；故填135（2）如图，OP=OC，OM=OM，而MOP=MOC，OP

4、MOCM，CMO=PMO=135所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135的两段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作O，连OC，OO，在优弧CO取点D，连DA，DO，CMO=135，CDO=180135=45，COO=90而OA=4cm，OO=OC=4=2，弧OMC的长=（cm），同理：点M在扇形AOC内时，同的方法得，弧ONC的长为cm，所以内心M所经过的路径长为2=2cm故填2强化练习1如图，在半径为4的O中，CD为直径，ABCD且过半径OD的中点，点E为O上一动点，CFAE于点F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 （ ）【详解

5、】连接AC，AOABCD，G为AB的中点，即AG=BG=ABO的半径为4，弦ABCD且过半径OD的中点，OG=2，在RtAOG中，根据勾股定理得：AG=2，AB=2AG=4又CG=CO+GO=4+2=6，在RtAGC中，根据勾股定理得：AC=4CFAE，ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CGAE，此时F与G重合；当E位于D时，CAAE，此时F与A重合，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长弧AG在RtACG中，tanACG=，ACG=30，弧AG所对圆心角的度数为60直径AC=4，弧AG的长为=，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点

6、F所经过的路径长为故选D2如图，ABC为O的内接三角形，BC=24 , ,点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E, 当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（ ）【详解】如图1，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径是以OC的中点K为圆心，以OC为半径的一段圆弧，当D与B重合时，如图2，E和L重合A=60，BOC=120，COE=60OK=KL，OKL是等边三角形，OKL=60当D运动到C时，如图3，D、E、C三点重合，此时OKC=180，E运动的圆弧的圆心角为240过O作OMBC于M，如图3，则BM=BC=12BOC=120，OB=OC，M

7、BO=（180-120）2=30OM=，OB=2OM=，OK=OB=，点E经过的路径长为=故选C3如图，线段EF的长为4，O是EF的中点，以OF为边长做正方形OABC，连接AE、CF交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90止，则点P运动的路径长为（ ）A B C2 D【详解】如图，连接AC首先证明EPF=135，推出点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是弧PEF，在K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则M=180EPF=45推出EKF=2M=90，因为EF=4，所以KE=KF=，根据弧长公式计算可得P运动的路径长=故选B4如图，等边三角形OPQ的边长

8、为2，以O为圆心，AB为直径的半圆经过点P，点Q，连接AQ，BP相交于点C，将等边三角形OPQ从OA与OP重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120度，则交点C运动的路径是（）解：如图，,点C的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形ABD的外接圆的半径，设等边三角形ABD的外接圆的半径为r，则有： ，即，点C运动的路径 故选：B5如图，等腰RtABC和等腰RtADE，BAC=DAE=90，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，RtABC固定不动，将ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（）A12 B8 C6 D4【详解】如图，作ABC的外接圆O，ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径是2弧P

9、P的长当ADBD时，AB=2AD，ABD=30ABC=45，OBP=15OP=OB，OPB=OBP=15 POC=OPB+OBP=30当AECE时，同理可得BOP=30，POP=120AC=AB=6，BAC=90，BC=AB=12，OP=6，弧PP的长=4，点P的运动路径是8故选B6（2019年武汉市）如图，AB是O的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是上一动点，ACB的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（）【解答】如图，连接EB设OArAB是直径，ACB90，E是ACB的内心，AEB135，ACDBCD，ADDBr，AD

10、B90易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，MON2GDF，设GDF，则MON2故选：A7.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，则线段CP的最小值为 如图：由于点P在运动中保持APD=90点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在RtODC中，OC=，CP=OCOP=8如图，边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁逆

11、时针方向作无滑动的滚动当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为_【详解】如图所示：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，AB=，AO=BO=，AB=AO=BO，AOB是等边三角形，AOB=OAB=60FAO是等边三角形，FAB=2OAB=120DAF=120-90=30，即旋转角为30EAC=30，GFE=FAD=120，AD=AB=，AC=2，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为=（）；故答案为：（）9如图，BC是O的直径，BC=，D，E是直径BC上方半圆上不与B、C重合的两点，且DOE=90，ABC的内心为P，当点A在弧DE上从点D运动到点E时，点P运动的路径长是 【详解】如图，作O

12、TBC交O于T，连接BT，TC，以T为圆心，TB为半径作T，在优弧BC上取一点G，连接BG,CG，BC是直径,BAC=90P是ABC的内心,CPB=90+BAC=135OTBC，OC=OB，TC=TB，CTB=90，CGB=CTB=45.CPB+G=180.点B,P，C，G四点共圆,点I的运动轨迹是弧MN，由题意可知DTE=DOE=45.在RtBCT中，BC=，TB=TC=2.TB=TM=2.点P的运动路径长为.故填. 10如图，已知点D，E是半圆O上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC，点I是ABC的内心，若O的半径为3，当点C从点D运动到点E时，点I随之运动形成的路径长是_【详解】如图，连接AI，BI，作OT