数学专题36圆的方程热点题型和提分秘籍文.docx

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数学专题36圆的方程热点题型和提分秘籍文

专题36圆的方程

1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。

2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

热点题型一求圆的方程

例1、

（1）若圆心在x轴上、半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是（　　）

A．（x－5）2＋y2＝5或（x＋5）2＋y2＝5

B．（x＋）2＋y2＝5

C．（x－5）2＋y2＝5

D．（x＋5）2＋y2＝5

（2）如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则该三角形的外接圆方程为________。

【解析】

（1）设圆心坐标为（a,0）（a<0），因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为（x＋5）2＋y2＝5。

（2）因为三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，解方程组可得三个顶点的坐标，分别设为A（1,2），B（2,2），C（3,1）。

【提分秘籍】

1．求圆的方程的两种方法

（1）直接法：

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。

（2）待定系数法：

①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。

2．确定圆心位置的方法

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上。

（2）圆心在圆的任意弦的垂直平分线上。

（3）两圆相切时，切点与两圆圆心共线。

提醒：

解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。

【举一反三】

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）

A．（x－2）2＋（y－1）2＝1

B．（x－2）2＋（y＋1）2＝1

C．（x＋2）2＋（y－1）2＝1

D．（x－3）2＋（y－1）2＝1

【答案】A

热点题型二与圆有关的最值问题

例2、已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，求：

（1）的最大值；

（2）y－x的最小值；

（3）x2＋y2的最值。

【解析】

（1）设＝k，得y＝kx，所以k为过原点的直线的斜率。

又x2＋y2－4x＋1＝0表示以（2,0）为圆心，半径为的圆，如图所示。

当直线y＝kx与已知圆相切且切点在第一象限时k最大。

此时：

【提分秘籍】

与圆有关的最值问题的常见解法

（1）形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。

（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。

（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。

【举一反三】

设P（x，y）是圆（x－2）2＋y2＝1上的任意点，则（x－5）2＋（y＋4）2的最大值为（　　）

A．6B．25

C．26D．36

【答案】D

【解析】因为圆（x－2）2＋y2＝1的圆心坐标为（2,0），该圆心到点（5，－4）的距离为＝5，所以圆（x－2）2＋y2＝1上的点到（5，－4）距离的最大值为6，即（x－5）2＋（y＋4）2的最大值为36。

热点题型三与圆有关的轨迹问题

例3．设定点M（－3,4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。

【解析】如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为。

但应除去两点：

和（点P在OM所在的直线上时的情况）。

【提分秘籍】

求与圆有关的轨迹问题的四种方法

【举一反三】

已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点。

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程。

1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是▲.

【答案】

【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上,结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为.

1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（　　）

A．－B．－

C.D．2

【答案】A

【解析】由已知可得圆的标准方程为（x－1）2＋（y－4）2＝4，故该圆的圆心为（1,4），由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝－，故选A.

2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A（1,3），B（4,2），C（1，－7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）

A．2B．8

C．4D．10

【答案】C

3．[2015·重庆卷]已知直线l：

x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）

A．2B．4

C．6D．2

【答案】C

【解析】根据直线与圆的位置关系求解．

由于直线x＋ay－1＝0是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C（2,1）在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，

∴a＝－1，∴A（－4，－1）．

∴|AC|2＝36＋4＝40.

又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.

∴|AB|＝6.

4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l：

mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.

【答案】4

【解析】设圆心到直线l：

mx＋y＋3m－＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，则直线l：

x－y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.

5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，以点（1,0）为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．

【答案】（x－1）2＋y2＝2

1．过点A（1，－1），B（－1,1），且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（　　）

A．（x－3）2＋（y＋1）2＝4

B．（x＋3）2＋（y－1）2＝4

C．（x－1）2＋（y－1）2＝4

D．（x＋1）2＋（y＋1）2＝4

【答案】C

【解析】设圆心C的坐标为（a，b），半径为r。

∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a。

∵|CA|2＝|CB|2，

∴（a－1）2＋（2－a＋1）2＝（a＋1）2＋（2－a－1）2。

∴a＝1，b＝1.∴r＝2。

∴方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4。

2．已知圆C：

x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为（　　）

A．8B．－4

C．6D．无法确定

【答案】C

【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6。

3．当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（　　）

A．x2＋y2－2x＋4y＝0

B．x2＋y2＋2x＋4y＝0

C．x2＋y2＋2x－4y＝0

D．x2＋y2－2x－4y＝0

【答案】C

【解析】将已知直线化为y－2＝（a－1）（x＋1），可知直线恒过定点（－1,2），故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＝0。

4．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（　　）

A．（x－2）2＋（y＋1）2＝1

B．（x－2）2＋（y＋1）2＝1

C．（x＋4）2＋（y－2）2＝4

D．（x＋2）2＋（y－1）2＝1

【答案】A

5．过圆x2＋y2＝4外一点P（4,2）作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是（　　）

A．（x－4）2＋（y－2）2＝1

B．x2＋（y－2）2＝4

C．（x＋2）2＋（y＋1）2＝5

D．（x－2）2＋（y－1）2＝5

【答案】D

【解析】设圆心为O，则O（0,0），则以OP为直径的圆为△ABP的外接圆。

圆心为（2,1）。

半径r＝＝。

∴圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5。

6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．5B．10

C．15D．20

【答案】B

7．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为__________。

【答案】10

【解析】方程可化为（x－1）2＋（y＋2）2＝5，表示以（1，－2）为圆心，为半径的圆，设x－2y＝m，则圆心到直线x－2y－m＝0的距离d＝∈[0，]，解得m的最大值为10。

8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4），B（0，－2），则圆C的方程为__________。

【答案】（x－2）2＋（y＋3）2＝5

【解析】∵圆与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），

∴由垂径定理得圆心在y＝－3这条直线上。

又已知圆心在2x－y－7＝0上，

∴解得即圆心C（2，－3），

半径r＝|AC|＝＝，

∴所求圆C的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5。

9．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________。

【答案】x2＋y2＝36

【解析】如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°。

而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6。

所以所求圆的方程为x2＋y2＝36。

10．已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0（t∈R）的图形是圆。

（1）求t的取值范围；

（2）求其中面积最大的圆的方程；

（3）若点P（3,4t2）恒在所给圆内，求t的取值范围。