数学专题36圆的方程热点题型和提分秘籍文.docx

1、数学专题36圆的方程热点题型和提分秘籍文专题36 圆的方程1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。2初步了解用代数方法处理几何问题的思想。热点题型一 求圆的方程例1、 (1)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是()A(x5)2y25或(x5)2y25B(x)2y25C(x5)2y25D(x5)2y25(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x2y50，y20，xy40，则该三角形的外接圆方程为_。【解析】(1)设圆心坐标为(a,0)(a0)，因为圆与直线x2y0相切，所以，解得a5，因此圆的方程为(x5)2y25。(2)因为三角形的三

2、边所在的直线方程分别为x2y50，y20，xy40，解方程组可得三个顶点的坐标，分别设为A(1,2)，B(2,2)，C(3,1)。【提分秘籍】1求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。2确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上。(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上。(3)两圆

3、相切时，切点与两圆圆心共线。 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。 【举一反三】 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x3)2(y1)21【答案】A热点题型二 与圆有关的最值问题例2、已知实数x，y满足x2y24x10，求：(1)的最大值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最值。【解析】(1)设k，得ykx，所以k为过原点的直线的斜率。又x2y24x10表示以(2,0)为圆心，半径为的圆，如图所示。当直线ykx与已知圆相切且切点在第一象限时

4、k最大。此时：【提分秘籍】 与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。【举一反三】 设P(x，y)是圆(x2)2y21上的任意点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A6 B25C26 D36【答案】D【解析】因为圆(x2)2y21的圆心坐标为(2,0)，该圆心到点(5，4)的距离为5，所以圆(x2)2y21上的点到(5，4)距离的最大值为6，即(x5)2(y4)2的最大值为36。热点题型三 与圆有关

5、的轨迹问题 例3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。【解析】如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为。但应除去两点：和(点P在OM所在的直线上时的情况)。【提分秘籍】求与圆有关的轨迹问题的四种方法【举一反三】 已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求PQ中点的轨迹方程。 1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 .【答案】 【解析】设，由，易得，

6、由，可得或，由得P点在圆左边弧上,结合限制条件 ，可得点P横坐标的取值范围为.12016新课标全国卷圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B C. D2【答案】A【解析】由已知可得圆的标准方程为(x1)2(y4)24，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解得a，故选A.22015新课标全国卷过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8C4 D10【答案】C32015重庆卷已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A

7、2 B4C6 D2【答案】C【解析】根据直线与圆的位置关系求解由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴， 圆心C(2,1)在直线xay10上， 2a10， a1， A(4，1) |AC|236440.又r2， |AB|240436. |AB|6.42016新课标全国卷已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.【答案】4【解析】设圆心到直线l：mxy3m0的距离为d，则弦长|AB|22，得d3，即3，解得m，则直线l：xy60，数形结合可得|CD|4.52015江苏卷在平面直角坐标系xOy中，以点(

8、1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_【答案】(x1)2y221过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24【答案】C【解析】设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r。圆心C在直线xy20上，b2a。|CA|2|CB|2，(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2。a1，b1.r2。方程为(x1)2(y1)24。2已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为()A8 B4C6 D无法确定【答案】C【解

9、析】圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，m6。3当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0Dx2y22x4y0【答案】C【解析】将已知直线化为y2(a1)(x1)，可知直线恒过定点(1,2)，故所求圆的方程为x2y22x4y0。4点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21【答案】A5过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则ABP

10、的外接圆方程是()A(x4)2(y2)21Bx2(y2)24C(x2)2(y1)25D(x2)2(y1)25【答案】D【解析】设圆心为O，则O(0,0)，则以OP为直径的圆为ABP的外接圆。圆心为(2,1)。半径r。圆的方程为(x2)2(y1)25。6在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10C15 D20【答案】B7若实数x，y满足x2y22x4y0，则x2y的最大值为_。【答案】10【解析】方程可化为(x1)2(y2)25，表示以(1，2)为圆心，为半径的圆，设x2ym，则圆心到直线x2ym0的距离d0，解得m的最大

11、值为10。8圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_。【答案】(x2)2(y3)25 【解析】圆与y轴交于A(0，4)，B(0，2)，由垂径定理得圆心在y3这条直线上。又已知圆心在2xy70上，解得即圆心C(2，3)，半径r|AC|，所求圆C的方程为(x2)2(y3)25。9圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程为_。【答案】x2y236【解析】如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB120。而圆心到直线3x4y150的距离d3，在AOB中，可求得OA6。所以所求圆的方程为x2y236。10已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)的图形是圆。(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围。