高中数学新人教版必修2教案第2章 223 直线与平面平行的性质+224 平面与平面平行的性质 含答案.docx

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高中数学新人教版必修2教案第2章223直线与平面平行的性质+224平面与平面平行的性质含答案

2.2.3　直线与平面平行的性质

2.2.4　平面与平面平行的性质

1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．（重点）

2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．（重点）

3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　直线与平面平行的性质定理

阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．

自然语言

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

符号语言

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

图形语言

作用

证明两直线平行

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．（　　）

（2）一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．（　　）

（3）过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．（　　）

（4）如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．（　　）

【解析】　由线面平行的性质定理知

（1）（4）正确；

由直线与平面平行的定义知

（2）正确；

因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，

而经过这条直线可作无数个平面，故（3）错．

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）√

教材整理2　平面与平面平行的性质定理

阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．

自然语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

作用

证明两直线平行

已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．不确定

【解析】　由面面平行的性质定理可知a∥b.

【答案】　A

[小组合作型]

线面平行性质定理的应用

　如图2215，四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：

AB∥平面EFGH.

图2215

【精彩点拨】　要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．

【自主解答】　∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥HG.

∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

∴EF∥平面ABD.

∵EF⊂平面ABC，

平面ABC∩平面ABD＝AB，

∴EF∥AB.

∵AB⊄平面EFGH，

EF⊂平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH.

运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.

[再练一题]

1．如图2216，在三棱柱ABCA1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.

求证：

AA1∥EE1.

图2216

【证明】　在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，

∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，

∴AA1∥平面BCC1B1.

∵AA1⊂平面AEE1A1，

平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，

∴AA1∥EE1.

面面平行性质定理的应用

　如图2217，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.

图2217

（1）求证：

AC∥BD；

（2）已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.

【精彩点拨】　

（1）利用面面平行的性质定理直接证明即可．

（2）利用平行线分线段成比例定理可求得PD.

【自主解答】　

（1）证明：

∵PB∩PD＝P，

∴直线PB和PD确定一个平面γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.

又α∥β，∴AC∥BD.

（2）由

（1）得AC∥BD，

∴＝，∴＝，∴CD＝，

∴PD＝PC＋CD＝.

1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：

（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；

（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；（4）由性质定理得出线线平行．

2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．

[再练一题]

2．如图2218，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：

N为AC的中点．

图2218

【证明】　因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，

所以四边形ANC1M为平行四边形，

所以AN∥C1M且AN＝C1M，

又C1M＝A1C1，A1C1＝AC，

所以AN＝AC，所以N为AC的中点．

[探究共研型]

平行关系的综合应用

探究1　应用线面平行性质定理有什么技巧？

【提示】　应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．

探究2　面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？

【提示】　两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．

探究3　你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？

【提示】　三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

　如图2219，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：

MN∥平面AA1B1B.

图2219

【精彩点拨】　用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.

【自主解答】　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，

∴＝.

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN，

∴＝，

∴＝，

∴NP∥CD∥AB.

∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B.

∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B.

又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B.

∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.

1．三种平行关系的转化

要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

2．面面平行的性质定理的几个推论

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

（2）夹在两平行平面间的平行线段相等．

（3）经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．

（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

[再练一题]

3．如图2220，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：

直线EE1∥平面FCC1.

图2220

【证明】　因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.

又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.

因为AB∥CD，所以CD∥AF，

所以AFCD为平行四边形．

所以FC∥AD.

又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，

所以FC∥平面ADD1A1.

因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，

所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1.

又EE1⊂平面ADD1A1，

所以EE1∥平面FCC1.

1．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是（　　）

图2221

A．AE⊥CG

B．AE与CG是异面直线

C．四边形AEC1F是正方形

D．AE∥平面BC1F

【解析】　由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.

【答案】　D

2．如图2222，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）

图2222

A．MN∥PD

B．MN∥PA

C．MN∥AD

D．以上均有可能

B　[∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN⊂平面PAC，∴MN∥PA.]

3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.

【解析】　由直线与平面平行的性质定理知l∥m.

【答案】　平行

4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．

【解析】　两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以＝，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.

【答案】　12

5．如图2223，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：

CD∥EF.

图2223

【证明】　因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.

同理可证AB∥EF，

所以CD∥EF.

学业分层测评（十一）

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（　　）

A．至少有一条　　　　B．至多有一条

C．有且只有一条D．没有

【解析】　过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.

【答案】　B

2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．平行或异面

【解析】　条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，

又a与α无公共点，故选C.

【答案】　C

3．下列命题中不正确的是（　　）

A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β

B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β

C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行

D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线

【解析】　选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.

【答案】　A