2C11年清华金秋营数学试题及解答Word文档格式.docx
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（n）（其中n为整数，p为素数）满足：
若Ord
（n）=m，则表示p
|n,并且p
҂n,定义S
（n）表示n在p进制表示下各位数字之和.
（1）求证：
Ord
（n!
）=
（2）利用
（1）的结论证明：
为整数.
（3）利用
（1）的结论证明：
证明：
（1）设n=a
p
+
+a
a
{0,1,
p-1}
则Ord
（n!
=a
p+a
+a
+
=
（2）设p
||（n+1）（P为n+1的任一素因子）
即n+1=a
+a
a
（0
p-1,且1
p-1）
则n=a
+（a
-1）p
+（p-1）p
+（p-1）
2n=2a
+2a
+2（a
+2（p-1）p
+2（p-1）
显然
S
（n）=a
-1）+
（p-1）
（2n）=2（a
-1））-
（p-1）-t（p-1）（t
0）
（C
）=Ord
（2n!
）-2Ord
）
即
.
（3）.由题知：
若p为n+1的素因子，且
则（p,m）=（1,（p,n））=1,
设n+1=a
（a
mn=b
+b
b
（b
则，n=a
mn+n=（a
+b
）p
+（b
+p-1）p
+p-1）
（mn）=b
（mn+n）=（a
）+（a
）+
-1）-
（其中a
+
共有t次进位）
，
（（mn+n）!
）-Ord
（（mn）!
即
。
3.原有的乘法交换律为xy=yx,现定义新的乘法交换律为yx=pxy,而乘法结合律与分配率保持不变。
例如：
（x+y）
=x
+xy+yx+y
+（p+1）xy+y
（1）设（x+y）
，求证：
a
是以p为变元的整系数多项式；
（2）求a
（1）易知（x+y）
=
（x+y）
且a
=a
=1
是以p为变元的整系数多项式.
（2）
=C
+pa
）+C
+C
pa
+（C
）pa
p+C
=1+C
4.设
e
试求：
的n个根.
由根与系数的关系知
，（
-
当t=1时，
又
当n=2m时，
=0
为上式的根
当n=2m+1时，类似可得
2
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