九年级中考数学复习练习类型二圆与直角三角形wor.docx
《九年级中考数学复习练习类型二圆与直角三角形wor.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级中考数学复习练习类型二圆与直角三角形wor.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
九年级中考数学复习练习类型二圆与直角三角形wor
题型三切线的相关证明与计算（9年7考）
类型二 圆与直角三角形
针对演练
1.（2017长沙中考模拟卷七）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC.
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，sinB＝，求CE的长．
第1题图
2.（2017南京）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
（1）求证：
PO平分∠APC；
（2）连接DB，若∠C＝30°，求证：
DB∥AC.
第2题图
3.（2017张家界）在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB、AC相交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
（1）求证：
DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB、FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
第3题图
4.如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，且PB＝PA.
（1）求证：
直线PB是⊙O的切线；
（2）已知：
＝2，求cos∠BCA的值．
第4题图
5.（2017南雅第七次阶段检测）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F，连接BD、BE.
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：
＝；
（3）若BC＝AB，求tan∠CDF的值．
第5题图
6.（2017娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E是AC的中点，OE交CD于点F.
（1）若∠BCD＝36°，BC＝10，求的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：
2CE2＝AB·EF.
第6题图
7.（2017青竹湖湘一二模）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若ED＝DB，求证：
3OF＝2DF；
（3）在
（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．
第7题图
答案
1.解：
（1）BC与⊙O相切．理由如下：
如解图，连接AE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD＋∠AFE＝90°，
∵BF＝BC，
∴∠BCE＝∠BFC，
∵点E为的中点，
∴＝，
∴∠EAD＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠BCE＋∠ACE＝∠BFC＋∠EAD＝∠EAD＋∠AFE＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为⊙O的直径，
∴BC与⊙O相切；
（2）∵⊙O的半径为2，
∴AC＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴sinB＝＝，
∴AB＝5，
∴BC＝＝3，
∵BF＝BC，
∴BF＝3，AF＝5－3＝2，
∵∠EAF＝∠ECA，∠E＝∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴＝＝＝，
∴EC＝2EA，
设EA＝x，则EC＝2x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
AE2＋EC2＝AC2，即x2＋4x2＝16，
解得x1＝，x2＝（舍去），
∴EA＝，CE＝.
2.证明：
（1）如解图，连接OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
又∵OA＝OB，
∴PO平分∠APC；
（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠CAP＝∠OBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°，
∵PO平分∠APC，
∴∠OPC＝∠APC＝×60°＝30°，
∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，
又∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，
∵∠DBP＝∠C，
∴DB∥AC.
3.
（1）证明：
如解图，连接OD，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠A，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：
∵∠A＝60°，AC＝BC，OB＝OD，
∴∠C＝∠DOB＝60°，
由
（1）知∠ODG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵OD＝6，
∴DG＝＝＝6，
∴S阴影＝S△ODG－S扇形DOB＝×6×6－＝18－6π.
4.
（1）证明：
如解图，连接OB、OP，
在△OBP和△OAP中，，
∴△OBP≌△OAP（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO，
∵PA⊥CA，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴OB⊥PB，
∵OB是⊙O的半径；
∴直线PB是⊙O的切线；
（2）解：
由
（1）可知△OBP≌△OAP，
∴∠POB＝∠POA，
∴∠BCA＝∠AOB＝∠POB＝∠POA，
∴BC∥PO，
∴＝＝2，
设BP＝a，BD＝2a，
∴PA＝a，
由勾股定理得：
DA＝＝2a，
∴DC＝a，AO＝CO＝a.
由勾股定理得：
PO＝＝a，
∴cos∠BCA＝cos∠POA＝＝.
5.
（1）解：
∠CBD＝∠CEB，证明如下：
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，
∴∠CBD＝90°－∠OBD，
又∵DE过⊙O的圆心，
∴∠DBE＝90°，OB＝OD，
∴∠CEB＝90°－∠ODB，∠ODB＝∠OBD，
∴∠CBD＝∠CEB；
（2）证明：
∵在△CBD和△CEB中，
∵∠CBD＝∠CEB，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CEB，
∴＝；
（3）解：
∵BC＝AB，OB＝AB，
∴在Rt△OBC中，OC＝AB，
∴CD＝OC－OD＝AB，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
∵∠CDF＝∠ADE＝∠ABE＝∠BED，
∴tan∠CDF＝tan∠BED＝＝＝＝.
6.
（1）解：
如解图，连接OD，
∵∠BCD＝36°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°，
∵BC是⊙O的直径，且BC＝10，
∴l＝＝2π；
（2）解：
DE是⊙O的切线．理由如下：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，
又∵点E是线段AC的中点，
∴DE＝AE＝EC＝AC，
在△DOE与△COE中，
∵，
∴△DOE≌△COE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠OCE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）证明：
∵△DOE≌△COE，
∴OE是线段CD的垂直平分线，DE＝CE，∠EFC＝90°，
∴点F是线段CD的中点，
∵点E是线段AC的中点，
∴EFAD，∠ADC＝∠EFC＝90°，
在△ACD与△ABC中，
∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
则＝，即AC2＝AB·AD，
又∵AC＝2CE，AD＝2EF，
∴（2CE）2＝AB·2EF，
即4CE2＝AB·2EF，
∴2CE2＝AB·EF.
7.
（1）证明：
如解图①，连接OC、AC、CG，
∵＝，
∴AC＝CG，
∴∠ABC＝∠CBG，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：
∵OC∥BD，
∴∠CFO＝∠DFB，∠OCB＝∠CBD，∠EOC＝∠EBD，
∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，
∴＝，＝，
∴＝，
∵ED＝DB，∠EDB＝90°，
∴∠E＝30°，
∴OC＝OE，
∵OA＝OC，
∴AE＝OA＝OC＝OB，
∴＝＝＝，
即3OF＝2DF；
（3）解：
如解图②，过A作AH⊥DE，交DE于点H，
∵∠E＝30°，
∴∠EBD＝60°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠EBD＝30°，
∵CD＝3，
∴BD＝＝3，
∴BE＝＝6，DE＝BD＝9，
∵AE＝BE，AH∥BD，
∴AH＝BD＝，DH＝DE＝6，
∴AD＝＝.
升级会员 