323导数与函数的综合问题试题及答案Word下载.docx

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A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件

4．（2017·

洛阳统考）若函数f（x）＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为（）

A．4B．6C．7D．8

5．设函数ht（x）＝3tx－2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7（x0）≥ht（x0）对任意的正数t都成立，则x0等于（）

A．5B.C．3D.

6．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导函数为f′（x），f′（x）＞0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为________．

7．（2017·

郑州质检）设函数f（x）是定义在（－∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有

2f（x）＋xf′（x）＞x2，则不等式（x＋2017）2f（x＋2017）－4f（－2）＞0的解集为________．

8．若对于任意实数x≥0，函数f（x）＝ex＋ax恒大于零，则实数a的取值范围是________．

9．（2016·

四川）设函数f（x）＝ax2－a－lnx，其中a∈R.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞－e1－x在区间（1，＋∞）内恒成立（e＝2.718…为自然对数的底数）．

10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

导数与函数的综合问题B组专项能力提升

30分钟）

11．设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R）．若x＝－1为函数g（x）＝f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象的是（）

12．（2017·

开封一模）已知函数f（x）＝ax3－3x＋1对x∈（0，1]总有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是________．

13．（2017·

皖江名校联考）若y＝ax＋b为函数f（x）＝图象的一条切线，则a＋b的最小值为________．

14．设函数f（x）＝a2lnx－x2＋ax，a＞0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求所有的实数a，使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．

15．（2016·

全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2有两个零点．

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：

x1＋x2＜2.

导数与函数的综合问题A组专项基础训练

【解析】f′（x）＝－k

＝（x＞0）．

设g（x）＝，则g′（x）＝，则g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增．

∴g（x）在（0，＋∞）上有最小值，为g

（1）＝e，结合g（x）＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e，选A.

【答案】A

【解析】由图象可知f（x）的图象过点（1，0）与（2，0），x1，x2是函数f（x）的极值点，因此1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f（x）＝x3－3x2＋2x，所以f′（x）＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′（x）＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4－＝.

【答案】C

【解析】y′＝－3x2＋27＝－3（x＋3）（x－3），

当0<

x<

3时，y′>

0；

当x>

3时，y′<

0.

故当x＝3时，该商品的年利润最大．

【解析】由题意得f′（x）＝6x2－18x＋12＝6（x－1）（x－2），由f′（x）＞0得x＜1或x＞2，由f′（x）＜0得1＜x＜2，所以函数f（x）在（－∞，1），（2，＋∞）上单调递增，

在（1，2）上单调递减，从而可知f（x）的极大值和极小值分别为f

（1），f

（2），

若欲使函数f（x）恰好有两个不同的零点，则需使f

（1）＝0或f

（2）＝0，解得a＝5或a＝4，

而选项中只给出了4，所以选A.

【解析】∵h7（x0）≥ht（x0）对任意的正数t都成立，

∴h7（x0）≥ht（x0）max.记g（t）＝ht（x0）＝3tx0－2t，

则g′（t）＝3x0－3t，令g′（t）＝0，

得t＝x，

易得ht（x0）max＝g（x）＝x，

∴21x0－14≥x，将选项代入检验可知选D.

【答案】D

【解析】∵f′（x）＝2ax＋b，∴f′（0）＝b＞0.

由题意知，∴ac≥，∴c＞0，

∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c时“＝”成立．

【答案】2

【解析】由2f（x）＋xf′（x）＞x2，

x＜0得2xf（x）＋x2f′（x）＜x3，

所以[x2f（x）]′＜x3＜0.

令F（x）＝x2f（x）（x＜0），

则F′（x）＜0（x＜0），

即F（x）在（－∞，0）上是减函数，

因为F（x＋2017）＝（x＋2017）2f（x＋2017），F（－2）

＝4f（－2），

所以不等式（x＋2017）2f（x＋2017）－4f（－2）＞0，

即为F（x＋2017）－F（－2）＞0，即F（x＋2017）＞F（－2），

又因为F（x）在（－∞，0）上是减函数，

所以x＋2017＜－2，所以x＜－2019.

【答案】

（－∞，－2019）

【解析】∵当x≥0时，f（x）＝ex＋ax＞0恒成立．

∴若x＝0，a为任意实数，f（x）＝ex＋ax＞0恒成立．

若x＞0，f（x）＝ex＋ax＞0恒成立，

即当x＞0时，a＞－恒成立．设Q（x）＝－.

Q′（x）＝－＝.

当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，则Q（x）在（0，1）上单调递增，

当x∈（1，＋∞）时，Q′（x）＜0，则Q（x）在（1，＋∞）上单调递减．

∴当x＝1时，Q（x）取得最大值．Q（x）max＝Q

（1）＝－e，

∴要使x≥0时，f（x）＞0恒成立，a的取值范围为（－e，＋∞）．

（－e，＋∞）

【解析】

（1）f′（x）＝2ax－＝（x＞0）．

当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，＋∞）内单调递减．

当a＞0时，由f′（x）＝0，有x＝.

此时，当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

（2）令g（x）＝－，s（x）＝ex－1－x.

则s′（x）＝ex－1－1.

而当x＞1时，s′（x）＞0，

所以s（x）在区间（1，＋∞）内单调递增．

又由s

（1）＝0，有s（x）＞0，从而当x＞1时，g（x）＞0.

当a≤0，x＞1时，f（x）＝a（x2－1）－lnx＜0.

故当f（x）＞g（x）在区间（1，＋∞）内恒成立时，必有a＞0.

当0＜a＜时，＞1.

由

（1）有f＜f

（1）＝0，

而g＞0，

所以此时f（x）＞g（x）在区间（1，＋∞）内不恒成立．

当a≥时，令h（x）＝f（x）－g（x）（x≥1）．

当x＞1时，h′（x）＝2ax－＋－e1－x＞x－＋－

＝＞＞0.

因此，h（x）在区间（1，＋∞）内单调递增．

又因为h

（1）＝0，所以当x＞1时，h（x）＝f（x）－g（x）＞0，

即f（x）＞g（x）恒成立．

综上，a∈.

（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·

2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元．

又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，

所以h＝（300－4r2），

从而V（r）＝πr2h＝（300r－4r3）．

因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，

故函数V（r）的定义域为（0，5）．

（2）因为V（r）＝（300r－4r3），

所以V′（r）＝（300－12r2）．

令V′（r）＝0，解得r＝5或－5（因为r＝－5不在定义域内，舍去）．

当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，故V（r）在（0，5）上为增函数；

当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，故V（r）在（5，5）上为减函数．

由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8.

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

【解析】因g（x）＝f（x）ex，

则g′（x）＝（2ax