七年级数学寒假复习提高专题有理数及其运算Word格式文档下载.docx

七年级数学寒假复习提高专题有理数及其运算Word格式文档下载.docx

《七年级数学寒假复习提高专题有理数及其运算Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学寒假复习提高专题有理数及其运算Word格式文档下载.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

②带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数

③对零的认识：

0可以表示没有；

0可以表示一个确切的量，如今天的最低气温是0℃；

0是整数也是偶数还是自然数；

0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是中性数

2.有理数的分类

整数和分数统称为有理数

3.有理数中的“三重锤”

（1）数轴

数轴：

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数.

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

（2）相反数：

只有符号不同的两个数是互为相反数，除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的.在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等.

①通常用a与表示一对相反数.

②若a与b互为相反数，则.

③互为相反数的两个数的绝对值相等，即.

④若，则，或（a与b互为相反数）.

（3）绝对值：

由绝对值的几何意义可知：

一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离.因为距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即.

从绝对值的定义可知：

一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数.

①若，则；

②若，则；

③，绝对值的非负性。

④互为相反数的绝对值相等，即

⑤若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.

即：

⑥绝对值最小的数是0.

【典型例题】

例1.若a与－5互为相反数，那么a是（）

A.－5B.C.D.5

析解：

本题根据互为相反数的概念和意义，两个互为相反数的数之和为0，可以得到a＝５，故应选D

例2.点A在数轴上表示+2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的实数是（）

A.3.B.－1.C.5.D.－1或3.

本题主要考查学生对数轴知识的理解程度，解答本题要画出数轴，注意平移的方向，先找出A点的坐标，就可以找到B点的坐标，应选B

例3.将正偶数按下表排列：

第1列第2列第3列第4列

第1行2

第2行46

第3行81012

第4行14161820

……

根据上面的规律，则2006所在的行、列分别是.

例4.北京等5个城市的国际标准时间（单位：

小时）可在数轴上表示如下：

如果将两地国际标准时间的差称为时差，那么（）

A.汉城与纽约的时差为13小时；

B.汉城与多伦多的时差为13小时；

C.北京与纽约的时差为14小时；

D.北京与多伦多的时差为14小时.

解析：

本题是一道与地理知识“联姻”的题，把中时区定为0，东时区定为正数，西时区定为负数.根据时区之间时间的换算规律：

同时区相减，异时区相加.所以，汉城与纽约的时差为9＋5=14小时；

汉城与多伦多的时差为9＋4=13小时；

北京与纽约的时差为8＋5=13小时；

北京与多伦多的时差为8＋4=12小时.故应选B.

专练一：

1.2006年世界杯足球赛在德国举行，本次比赛共32支球队平均分成8个小组首先进行小组赛，每小组内举行单循环比赛（每个球队都与本小组的其它队比赛一场），选出两个球队进入16强.本次足球赛的小组赛共进行场比赛.

2.小敏中午放学回家自己煮面条吃.有下面几道工序：

①洗锅盛水2分钟；

②洗菜3分钟；

③准备面条及佐料2分钟；

④用锅把水烧开7分钟；

⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟.以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序.小敏要将面条煮好，最少要用______分钟.

3.已知：

×

2=＋2，×

3=＋3，×

4=＋4，…，若×

10=＋10（a，b都为正整数），则a＋b的最小值是.

4.一串有趣的图案按一定的规律排列.请仔细观察，按此规律第2008个图案是.

5.如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆________根火柴棒.

专讲二：

基本运算

1.运算法则

（1）加法：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；

绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

一个数同0相加，仍得这个数

（2）减法：

减去一个数等于加上这个数的相反数

（3）乘法：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

注意：

运算步骤：

①确定积的符号；

②求出积的绝对值

③几个有理数相乘，只要有一个为0，则乘积为0

④几个不为零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数，积为负；

当负因数的个数为偶数，积为正。

（4）除法：

法则1：

除以一个数等于乘以这个数的倒数；

法则2：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何非0数都得0。

倒数：

乘积为1的两数互为倒数，因为除数不能为零，所以零没有倒数

（5）乘方：

①意义：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作“”=，乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数，叫做a的n次方

②乘方运算的符号法则：

正数的任何次幂都是正数；

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

2.运算律：

（1）加法交换律：

a+b=b+a

（2）加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

（3）乘法交换律：

ab=ba

（4）乘法结合律：

a（bc）=（ab）c

（5）乘法分配律：

a（b+c）=ab+ac

3.运算顺序：

有理数的混合运算顺序是：

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的

4.用计算器进行简单的运算

注意键盘中各键的功能及运算过程中的按键顺序

例1.我市2005年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2005年温差列式正确的是（）

A.（＋39）－（－7）B.（＋39）＋（＋7）

C.（＋39）＋（－7）D.（＋39）－（＋7）

本题是只列式不计算的题，根据条件要求列出算式即可，应选A

例2.下列四个运算中.结果最小的是（）

A.1+（－2）B.1－（－2）C.l×

（－2）D.1（－2）

本题考查学生简单的加、减、乘、除计算，应选C

例3.将长为1的绳子，截去一半，然后将剩下的再截去一半，如此下去，若余下的绳子长不足1，则至少需截几次（）

A.6次B.7次C.8次D.9次

本题考查乘方的定义和计算，应选B

例4.用火柴棒按下图的方式搭三角形，照这样的规律搭下去，搭第10个图形需要根火柴棒.

观察图形会发现：

所搭的图形都是由三角形构成的.搭第1个图形（一个三角形）用了3根火柴棒，而后来所搭的图形都与前面的图形的一边“共享”.所以第2个图形的火柴棒根数为：

2×

3－1=5，第3个图形的火柴棒根数为：

3×

3－2=7，…，第n个图形的火柴棒根数为：

3n－（n－1）.

故搭第10个图形需要的火柴棒根数为：

3n－（n－1）=3×

10－（10－1）=21.

专练二：

1.计算：

.

2.计算：

1－（－）－（－）

3.下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。

依此规律，第5个图案中白色正方形的个数为个。

4.观察下列图形，按规律填空：

5.观察下列数表：

根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为

6.用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是个。

专讲三：

有理数综合问题

（一）易错点扫描

1.有理数常见思维误区

（1）对正、负数的理解有误，如：

a一定表示正数，－a一定表示负数

（2）有理数的分类问题，易把小数作为单独的一类，不知道有限和无限循环小数可以转化为分数

2.数轴、相反数、绝对值常见思维误区

主要是对三者概念的理解有误，应用也容易出错

3.有理数的运算常见思维误区

（1）对几种运算法则理解不到位；

（2）符号易出现错误；

（3）运算顺序、运算性质易错；

（4）滥用运算律等错误

（二）思想方法归纳

为了深刻理解新的数学概念，新教材渗透了不少的数学思想和方法.

1.数形结合的思想

在学习数轴后知道了数可以用数轴上的点来表示，反之数轴上的点也表示数，这就初步奠定了数形结合的思想，在后续学习中，这种思想不断地得到体现，如

相反数的几何意义是：

在数轴上位于原点的两旁，并且与原点的距离相等的两点表示的数叫互为相反数.

绝对值的几何意义是：

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.

这种形象与抽象的结合，加深了同学们对相反数、绝对值等概念的认识和理解，也为今后的学习奠定了基础.

2.转化的思想方法

第二章中关于有理数的减法和除法法则分别是减去一个数等于加上这个数的相反数；

除以一个数等于乘以这个数的倒数，这两条法则充分体现了数学中的转化思想，即将未知问题转化为已知问题来解决.

3.分类的思想方法

在学习有理数、绝对值的概念时，都体现了分类的思想方法，即

有了分类思想，根据“不重不漏”的分类原则去处理问题，能使思维变得更严密，考虑问题更全面。

例如，若a＞0，b＜0，则a+b0。

就必须讨论

（1）当＞时，a+b＞0；

（2）当=时，a+b=0；

（3）当＜时，a+b＜0.

例1.我们把分子为1的分数叫做单位分数.如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝，＝，＝，…

（1）根据对上述式子的观察，你会发现＝.请写出□，○所表示的数；

（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，☆所表示的式子，并加以验证.

（1）□表示的数为6，○表示的数为30；

（2）△表示的式子为，☆表示的式子为.

∵

例2.定义一种对正整数n的“F”运算：

①当n为奇数时，结果为3n＋5；

②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取n＝26，则：

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__8________.

根据定义一种对正整数n的“F”运算的法则很容易计算出结果为8

例3.在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：

当a≥b时，a⊕b＝b2；

当a＜b时，a⊕b＝a.

则当x＝2时，（1⊕x）·

x－（3⊕x）的值为（“·

”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）.

根据定义新运算的法则应填－2

专练三：

1.老师