北师大版八年级下册《第六章平行四边形》全章复习与巩固提高知识讲解讲义docx.docx
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北师大版八年级下册《第六章平行四边形》全章复习与巩固提高知识讲解讲义docx
《平行四边形》全章复习与巩固
(提高)
责编:
杜少波
【学习目标】
1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2.掌握三角形的中位线定理.
3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.常握多边形的内角和与外角和公式.
4.积累数学活动经验,发展推理能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“口
ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释:
平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
要点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等;
平行四边形的对边相等;
平行四边形的对角线互相平分;
要点诠释:
(1)平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等;角的
性质可以证明两角相等或两角互补;对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
(2)由于平行四边形的性质内容较多,在使用时根据需要进行选择.
(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定定理
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释:
(1)这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握,当几种方法都能判定同一个行四边形时,应选择较简单的方法.
(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依
据.
要点四、平行线间的距离
1•两条平行线间的距离:
(1)定义:
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.注:
距离是指垂线段的长度,是正值.
2.平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线I'可的平行线段相等.
平行线性质定理的推论:
夹在两条平行线间的垂线段相等.
要点五、三角形的中位线
三角形的中位线
1.连接三角形两边屮点的线段叫做三角形的屮位线.
2.定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
要点诠释:
(1)三角形有三条中位线,每--条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的丄,每个小三角形的面积为原三角形
2
面积的丄.
4
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点六、多边形内角和、外角和
〃边形的内角和为(川一2)・180°(斤23)・
要点诠释:
(1)内角和定理的应用:
①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和求其边数;
(2)正多边形的每个内角都相等,都等于("_2)・180;
n
多边形的外角和为360°.比边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质与判定
C1、(2015・海淀区二模)如图1,在AABC中,AB=AC,ZABC=a,D是BC边上一点,以AD为边作Z\ADE,使AE二AD,ZDAE+ZBAC=180°.
(1)直接写出ZADE的度数(用含a的式子表示);
(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,
1如图2,若点F恰好落在DE上,求证:
BD=CD;
2如图3,若点F恰好落在BC上,求证:
BD二CF.
Ell
D图2
D
图3
'E
【思路点拨】
(1)由在ZXABC中,AB=AC,ZABC=a,可求得ZBAC=180°-2a,又由AE=AD,ZDAE+ZBAC=180°,可求得ZDAE二2a,继而求得ZADE的度数;
(2)®rfl四边形ABFE是平行四边形,易得ZEDC二ZABC二a,则可得
ZADOZADE+ZEDC二90°,证得AD丄BC,又由AB二AC,根据三线合一的性质,即可证得结论;②由在AABC中,AB=AC,ZABC=a,可得ZB=ZC=a,四边形ABFE是平行四边形,可得AE〃BF,AE=BF.即可证得:
ZEAC=ZC=a,又由
(1)可证得AD=CD,又由AD=AE=BF,证得结论.
【答案与解析】
解:
(1)•・•在AABC中,AB=AC,ZABC=a,
/.ZBAC=180o・2a,
VZDAE+ZBAC=180°,
・・・ZDAE=2a,
VAE=AD,
・・・ZADE二90°-a;
(2)①证明:
・・•四边形ABFE是平行四边形,
・・・AB〃EF.
AZEDC=ZABC=a,
由
(1)知,ZADE=90°-a,
AZADC=ZADE+ZEDC=90°,
・・・AD丄BC・
TAB二AC,
・・・BD二CD;
②证明:
TAB二AC,ZABC=a,
・・・ZOZB二a・
T四边形ABFE是平行四边形,
・・・AE〃BF,AE二BF.
AZEAC=ZC=a,
由
(1)知,ZDAE=2a,
・•・ZDAC=a,
•••ZDAOZC.
・・・AD二CD.
VAD=AE=BF,
・・・BF二CD.
・・・BD二CF.
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意
(2)
①中证得AD丄BC是关键,
(2)②中证得AD二CD是关键.
举一反三:
【变式】分别以口ABCD(ZCDA^90°)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,AABE,ACDG,AADF.
(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的关系并证明);
(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF,EF,
(1)中结论还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
【答案】
解:
(1)GF丄EF,GF=EF成立;
・・•四边形ABCD是平行四边形,
・・・AB=CD,ZDAB+ZADC=180°,
VAABE,ACDG,ZSADF都是等腰直角三角形,
・・・DG=CG=AE=BE,DF=AF,ZCDG=ZADF=ZBAE=45°,
・•・ZGDF=ZGDC+ZCDA+ZADF=90Q+ZCDA,
ZEAF=360°-ZBAE・ZDAF・ZBAD=270°-(180°-ZCDA)=90°+ZCDA,
・・・ZFDG=ZEAF,
・・•在ZXEAF和Z\GDF中,
DF=AF
DG=AE
AEAF^AGDF(SAS),
・・・EF=FG,ZEFA=ZDFG,即ZGFD4-ZGFA=ZEFA+ZGFA,・・・ZGFE=90°,・・・GF丄EF;
(2)GF丄EF,GF=EF成立;
理由:
・・•四边形ABCD是平行四边形,
・・・AB=CD,ZDAB+ZADC=180°,
VAABE,ACDG,AADF都是等腰直角三角形,・・・DG=CG=AE=BE,DF=AF,ZCDG=ZADF=ZBAE=45°,・•・ZBAE+ZFAD+ZEAF+ZADF+ZFDC=180°,
・・・ZEAF+ZCDF=45°,
VZCDF+ZFDG=45°,
AZFDG=ZEAF,
•・•在ZXEAF和AGDF中,
DF=AF
DG=AE
AAEAF^AGDF(SAS),
・・・EF=FG,ZEFA=ZDFG,即ZGFD+ZGFA=ZEFA+ZGFA,AZGFE=90°,•••GF丄EF.
如图,点D是8BC的边AB的延长线上-点,点F是边BC上的-个动点(不与点
7U迁
D.
B重合).以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又AP^BE(点P、E在直线AB的
【答案与解析】
解:
过点P作PH/7BC交AB于H,连接CH,PF,
VAP±^BE,
・・・四边形APEB是平行四边形,
・・・PE〃AB,PE=AB,
・・•四边形BDEF是平行四边形,
・・・EF〃BD,EF=BD,
即EF/7AB,
・・・P,E,F共线,
、九1
设BD=a,VBD=-AB,・・.PE=AB=4a,
4
则PF=PE—EF=3d,
••S厶HBC~'
・.・PF〃八B,
・・・四边形BFPH是平行四边形,
・・・BH=PF=3d,
丫=BH:
AB=3o:
4a=3:
4,
•*S3BC:
^AABC“•
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.此题难度较大,注意准确作出辅助线,注意等高三角形面积的比等于其对应底的比.
举一反三:
【变式】己知中,AB=3,AC=4,BC=5,分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作
F
正△ABD、正AACE和正ABCF,求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积.
【答案】
证明:
IAB=3,AC=4,BC=5,
・・・ZBAC=90°
•••△ABD、AACE和ABCF为正三角形,
・・・AB=BD=AD,AC=AE=CE,BC=BF=FC,
Z1+ZFBA=Z2+ZFBA=60°
・・・Z1=Z2
易证△BAC^ABDE(SAS),
ADF=AC=AE=4,ZBDF=90°
同理可证ZXBAC^AFEC
・・・AB=AD=EF=3
・・・四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
•・・DF〃AE,DF丄BD
延MEA交BD于H点,AH丄BD,则H为BD中点
3
・•・平行四边形AEFD的面积=DFXDH=4X一=6.
2
P3、在平行四边形ABCD中,点儿,A2,A3,A4和G,C2,C3,C4分别AB和CD的五等分点,点Bi,B2和Di,D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD面积为()
35
A.2B.-C.-D.15
53
【思路点拨】可以设平行四边形ABCD的而积是S,根据等分点的定义利用平行四边形八BCD的而积减去四个角上的三角形的而积,就可表示出四边形A4B2C4D2的面积,从而得到两个四边形面积的关系,即可求解.
【答案】C;
【解析】
解:
设平行四边形ABCD的面积是S,设AB=5d,BC=3b.AB边上的高是3x,BC边上的高是5y.
、4
B2C边上的高是一・5y=4y.
△AA』2与厶B2CC4全等,B2C=-BC=/?
则△AA』2和ZXB2CC4的面积是2by=
2S
1?
3
同理WD与△收的面积是着
即詈=1
2£2S*£V
则四边形A,氏C.D的面积是S-—-—-—
1515151515
解得s=-.
3
【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形而积计算,正确利用等分点的定义,得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键.
类型二、三角形的中位线
°4、如图,现的周长为26,点D,E都在边BC上,ZABC的平分线垂直于AE