届湖南师大附中高三上学期第一次月考 数学文试题Word版含答案Word格式文档下载.docx

届湖南师大附中高三上学期第一次月考 数学文试题Word版含答案Word格式文档下载.docx

《届湖南师大附中高三上学期第一次月考 数学文试题Word版含答案Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届湖南师大附中高三上学期第一次月考 数学文试题Word版含答案Word格式文档下载.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（6）已知向量m＝（λ＋1，1），n＝（λ＋2，2），若（m＋n）⊥（m－n），则λ＝（B）

（A）－4（B）－3（C）－2（D）－1

（7）下列函数的最小正周期为π的是（A）

（A）y＝cos2x（B）y＝（C）y＝sinx（D）y＝tan

（8）一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是（A）

（A）＋2（B）＋（C）π＋2（D）＋

【解析】该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，故体积为×

π×

12×

2＋×

2×

×

2＝＋2，故选A.

（9）已知数列中，a1＝1，an＋1＝an＋n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（D）

（A）n<

6?

（B）n<

7?

（C）n≤8?

（D）n≤9?

【解析】第一次循环：

1≤m成立，S＝a2，n＝2，依次类推，第九次循环：

9≤m成立，S＝a10，n＝10，第十次循环：

10≤m不成立，输出第10项，因此9≤m<

10，选D.

（10）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by（a>

0，b>

0）的最大值为12，则＋的最小值为（D）

（A）4（B）（C）（D）

【解析】由不等式组作出可行域如图，由a>

0，

可知当直线z＝ax＋by经过点P（4，6）时，z取得最大值，

由已知得4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝＋＝＋＋≥，当且仅当＝，即a＝b＝时取得等号，

故＋的最小值为.

（11）如图，已知直线l：

y＝k（x＋1）（k>

0）与抛物线C：

y2＝4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是（C）

（A）（B）（C）（D）2

【解析】设抛物线C：

y2＝4x的准线为l：

x＝－1，焦点为F.

直线y＝k（x＋1）（k＞0）恒过定点P（－1，0），

由|AM|＝2|BN|知点B为AP的中点，连接OB，则|FA|＝2|OB|，

又由|AM|＝2|BN|得|FA|＝2|FB|，

∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为，

∴点B的坐标为B，

把B代入直线l：

y＝k（x＋1）（k＞0），解得k＝.

（12）已知函数f＝（b∈R）．若存在x∈，使得f（x）＞－x·

f′（x），则实数b的取值范围是（C）

（A）（B）（C）（D）

【解析】f＋xf′>

0⇒>

0，设g＝xf＝lnx＋，

若存在x∈，使得f＋xf′>

则函数g在区间上存在子区间使得g′>

0成立，

g′＝＋2＝，设h＝2x2－2bx＋1，

则h>

0或h>

0，即8－4b＋1>

0或－b＋1>

0，得b<

，故选C.

数学（文）试题参考答案

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

答案

C

B

A

D

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分．

（13）在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是____．

（14）给出下列不等式：

1＋＋>

1，

1＋＋＋…＋>

，

2，

…

则按此规律可猜想第n个不等式为__1＋＋＋＋…＋>

__．

（15）已知函数f＝，其中m>

0，若存在实数b，使得关于x的方程f＝b有三个不同的零点，则m的取值范围是__m>

3__．

【解析】函数y＝为偶函数，且左减右增．函数y＝x2－2mx＋4m的对称轴为x＝m，且向右单调递增．故当x≤m时函数f先减后增，当x>

m时函数f单调递增，要f＝b有三个不同的零点，则必须满足m>

m2－2m2＋4m，解得m>

3.

（16）某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝75°

，∠BDC＝60°

，CD＝40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°

，且CE＝1米，则烟囱高AB＝__20＋1__米．

【解析】∠CBD＝180°

－∠BCD－∠BDC＝45°

，在△CBD中，根据正弦定理得BC＝＝20，∴AB＝1＋tan30°

·

BC＝1＋20（米），故答案为：

20＋1.

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本题满分12分）

在三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知（2a－c）cosB＝bcosC.

（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）设函数f（x）＝sin＋2cos2（其中ω＞0为常数），若x＝是f（x）的一个极值点，求ω的最小值．

【解析】

（Ⅰ）由已知及正弦定理，有（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，（1分）

所以2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC，即2sinAcosB＝sin（B＋C）．（3分）

因为sin（B＋C）＝sinA≠0，所以2cosB＝1，即cosB＝.（5分）

因为B∈（0，π），所以B＝.（6分）

（Ⅱ）由题设，f（x）＝sin＋2cos2＝sinωx＋cosωx＋1＋cosωx

＝sinωx＋cosωx＋1＝sin＋1.（10分）

因为x＝是f（x）的一个极值点，ω＞0，则＋＝kπ＋，即ω＝12k＋2（k∈N）．

故ω的最小值为2.（12分）

（18）（本题满分12分）

已知数列{an}满足：

a1＋＋…＋＝2n－1（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn.若对一切n∈N*，都有Sn＜M成立（M为正整数），求M的最小值．

（Ⅰ）因为a1＋＋…＋＝2n－1，则a1＋＋…＋＝2n－1－1（n≥2）．（2分）

两式相减，得＝2n－1，即an＝n·

2n－1（n≥2）．（3分）

由已知，a1＝2－1＝1满足上式．（4分）

故数列{an}的通项公式是an＝n·

2n－1.（5分）

（Ⅱ）由题设，bn＝＝.（6分）

则Sn＝＋＋＋…＋，Sn＝＋＋…＋＋.（8分）

两式相减，得Sn＝1＋1＋＋…＋－＝3－－＝3－.（10分）

所以Sn＝6－.（11分）

显然，Sn<

6，又S5＝6－>

5，所以M≥6，故M的最小值为6.（12分）

（19）（本题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝，△ADP为等边三角形．

（Ⅰ）求证：

AD⊥PB；

（Ⅱ）若AB＝2，BP＝，求点D到平面PBC的距离．

（Ⅰ）取AD的中点O，连接PO，OB，证明AD⊥平面PBO，从而得证．

（Ⅱ）∵AD//BC，∴PB⊥BC.

利用等体积变换，得VD－PBC＝VP－DBC，从而求出D到平面PBC的距离．

（Ⅰ）取AD的中点O，连接OP，OB.

∵△ADP为等边三角形，∴PO⊥AD，∵AB＝AD，∠DAB＝，

∴△ADB为等边三角形，∴BO⊥AD.

又PO∩OB＝O，∴AD⊥平面PBO.

又PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB.（6分）

（Ⅱ）由条件知△ABD与△PAD都是边长为2的等边三角形，∴OB＝OP＝.

又PB＝，则PB2＝OB2＋OP2，∴OP⊥OB.

又OB∩AD＝O，∴PO⊥平面ABD，

∵VD－PBC＝VP－DBC＝S△BDC·

OP＝×

＝1，

又AD∥BC，∴PB⊥BC，∴S△PBC＝×

2＝，

设点D到平面PBC的距离为h，由S△PBC·

h＝1，解得h＝.（12分）

（20）（本题满分12分）

已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的离心率为，点A在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交于两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？

若存在，求此圆的方程；

若不存在，说明理由．

（Ⅰ）由题意得＝，a2＝b2＋c2，

又点A在椭圆C上，∴＋＝1，解得a＝2，b＝1，c＝，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.（5分）

（Ⅱ）存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2＋y2＝5.

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2＋y2＝r2（r>

0）．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m.

由方程组得x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

∵直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，

∴Δ1＝－4＝0，即m2＝4k2＋1.

由方程组得x2＋2kmx＋m2－r2＝0，

则Δ2＝－4>

0.

设P1，P2，则x1＋x2＝，x1x2＝，

设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，

∴k1k2＝＝＝

＝＝，

将m2＝4k2＋1代入上式，得k1k2＝.

要使得k1k2为定值，则＝，即r2＝5，代入Δ2验证知符合题意．

∴当圆的方程为x2＋y2＝5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值－.

当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x＝±

2.

此时，圆x2＋y2＝5与l的交点P1，P2也满足k1k2＝－.

综上，当圆的方程为x2＋y2＝5时，

圆与l的交点P1，P2满足直线OP1，OP2的斜率之积为定值－.（12分）

（21）（本题满分12分）

已知函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R.

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）若函数f（x）的两个零点为x1，x2且≥e2，求证：

（x1－x2）f′（x1＋x2）>

.

（Ⅰ）函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R的定义域为，则f′（x）＝＋a.

当a≥0时，f′（x）>

0，∴f（x）在上单调递增；

当a<

0时，由f′（x）＝＋a>

0，得0<

x<

－，∴f（x）在上单调递增；

（3分）

由f′（x）＝＋a<

0，得x>

－，∴f（x）在上单调递减．（5分）

（Ⅱ）由题意，得lnx1＋ax1＝0，lnx2＋ax2＝0，

∴lnx2－lnx1＝a（x1－x2）．

∴（x1－x2）f′（x1＋x2）＝（x1－x2）＝＋a（x1－x2）

＝＋ln＝＋ln.

令＝t≥e2，令φ（t）＝＋lnt，则φ′（t）＝>

∴φ（t）在上单调递增，∴φ（t）≥φ（e2）＝1＋>

1＋＝，

即（x1－x2）f′（x1＋x2）>

.（12分）

请考生在（22）、（23）、（24）题中任选