版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲合情推理与演绎推理学案.docx

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版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲合情推理与演绎推理学案

第36讲　合情推理与演绎推理

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．了解合情推理在数学发现中的作用．

2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

2017·全国卷Ⅰ，12

2016·北京卷，8

2015·江苏卷，11

2015·福建卷，15

合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、立体几何、数列等问题中的证明来考查.

分值：

5分

1．合情推理

（1）归纳推理

①定义：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．

②特点：

是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理．

（2）类比推理

①定义：

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理．

②特点：

是由__特殊__到__特殊__的推理．

2．演绎推理

（1）演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理．

（2）“三段论”是演绎推理的一般模式

①大前提——已知的__一般原理__.

②小前提——所研究的__特殊情况__.

③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断．

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．

（1）归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．（　×　）

（2）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（　×　）

（3）“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．（　√　）

（4）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．（　×　）

解析

（1）错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．

（2）错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．

（3）正确．因为大前提错误，所以结论错误．

（4）错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（　C　）

A．使用了归纳推理

B．使用了类比推理

C．使用了“三段论”，但推理形式错误

D．使用了“三段论”，但小前提错误

解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．

3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝（　B　）

A．28　　B．32　　

C．33　　D．27

解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.

则x－20＝12，因此x＝32.

4．给出下列三个类比结论：

①（ab）n＝anbn与（a＋b）n类比，则有（a＋b）n＝an＋bn；

②loga（xy）＝logax＋logay与sin（α＋β）类比，则有sin（α＋β）＝sinαsinβ；

③（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2与（a＋b）2类比，则有（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2.

其中结论正确的个数是（　B　）

A．0　　B．1　　

C．2　　D．3

解析只有③正确．

5．观察下列不等式：

1＋＜，

1＋＋＜，

1＋＋＋＜，

…

按此规律，第五个不等式为__1＋＋＋＋＋<__.

解析观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋…＋<（n∈N*，n≥2），

所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.

一　类比推理

（1）进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

（2）类比推理常见的情形有：

平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比（加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方）、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．

【例1】

（1）若数列是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则dn的表达式应为（　D　）

A．dn＝　　B．dn＝

C．dn＝　　D．dn＝

（2）在平面几何中：

△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：

在三棱锥A－BCD中（如图），平面DEC平分二面角A－CD－B，且与AB相交于E，则得到类比的结论是__＝__.

解析

（1）若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋（n－1）＝c·q，

∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D．

（2）由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.

二　归纳推理

归纳推理中几种问题的处理技巧

（1）与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．

（2）与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．

（3）与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

【例2】观察下列等式：

12＝1；

12－22＝－3；

12－22＋32＝6；

12－22＋32－42＝－10；

…

依此规律，第n个等式可为__12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1·__.

解析第n个等式的左边第n项应是（－1）n＋1n2，

右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝，

故有12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1·.

【例3】观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__28__个小正方形．

解析第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋（n＋1）．故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝＝28，即第6个图中有28个小正方形．

【例4】（2016·山东卷）观察下列等式：

－2＋－2＝×1×2；

－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；

…

照此规律，

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__n（n＋1）__.

解析通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×（n＋1），即n（n＋1）．

三　演绎推理

演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．

【例5】数列的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn（n∈N*），证明：

（1）数列是等比数列；

（2）Sn＋1＝4an.

证明

（1）∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），即nSn＋1＝2（n＋1）Sn，

∴＝2·，又＝1≠0，（小前提）

故是以1为首项，2为公比的等比数列．（结论）

（2）由

（1）可知＝4·（n≥2），

∴Sn＋1＝4（n＋1）·＝4··Sn－1＝4an（n≥2），（小前提）

又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，（小前提）

∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.（结论）

1．（2018·安徽淮南模拟）从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（　B　）

A．2011　　B．2012

C．2013　　D．2014

解析根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a∈N*，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这9个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2012，得a＝212，是自然数，故选B．

2．（2018·江西临川一中模拟）已知12＝×1×2×3,12＋22＝×2×3×5,12＋22＋32＝×3×4×7,12＋22＋32＋42＝×4×5×9，则12＋22＋…＋n2＝__n（n＋1）（2n＋1）（n∈N*）__（其中n∈N*）．

解析根据题意可归纳出12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1），下面给出证明：

（k＋1）3－k3＝3k2＋3k＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，（n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得（n＋1）3－13＝3（12＋22＋…＋n2）＋3（1＋2＋…＋n）＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1），故填n（n＋1）（2n＋1）．

3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为__6n＋2__.

　…

解析由题意知，图②的火柴棒比①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n条小鱼需要（2＋6n）根．

4．（2018·北京海淀模拟）若f（a＋b）＝f（a）f（b）（a，b∈N*），且f

（1）＝2，则＋＋…＋＝__2_018__.

解析利用三段论．

因为f（a＋b）＝f（a）f（b）（a，b∈N*），（大前提）

令b＝1，则＝f

（1）＝2，（小前提）

所以＝＝…＝＝2.（结论）

所以原式＝＝2018.

易错点　类比不当

错因分析：

从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论．

【例1】在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：

＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

解析如图

（1）所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，

AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，

∴＝

＝＝.

又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋，

∴＝＋.

四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，

则＝＋＋.

证明如下：

如图

（2），连接BE交CD于F，连接AF.

∵AB⊥AC，AB⊥AD，

∴AB⊥平面ACD．而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.

在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，＝＋.

∴＝＋＋.

【跟踪训练1】在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19，n∈N*）成立．类比上述性质，相应地：

在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n（n<17，n∈N*）__成立．

解析在等差数列{an}中，由a10＝0，得：

a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，

∴S19＝a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0（n<19），

即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，

又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，

∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋