高中数学人教A版必修四教学案15 函数yAsinωx+φ的图象 Word版含答案.docx
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高中数学人教A版必修四教学案15函数yAsinωx+φ的图象Word版含答案
[核心必知]
．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材～的内容，回答下列问题．
（）φ对函数＝（＋φ）的图象有什么影响？
提示：
函数＝（＋φ），∈（其中φ≠）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当φ>时）或向右（当φ<时）平行移动φ个单位长度而得到．
（）ω（ω>）对函数＝（ω＋φ）的图象有什么影响？
提示：
函数＝（ω＋φ），∈（其中ω>且ω≠）的图象，可以看作是把＝（＋φ）的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>时）或伸长（当<ω<时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．
（）（>）对函数＝（ω＋φ）的图象有什么影响？
提示：
函数＝（ω＋φ）（>且≠）的图象，可以看作是把＝（ω＋φ）的图象上所有点的纵坐标伸长（当>时）或缩短（当<<时）到原来的倍（横坐标不变）而得到的，函数＝（ω＋φ）的值域为[－，]．最大值为，最小值为－.
（）函数＝（ω＋φ）（>，ω>）中，、ω、φ的物理意义各是什么？
提示：
是振幅，是周期，是频率，φ是初相．
．归纳总结，核心必记
（）参数、ω、φ对函数＝（ω＋φ）图象的影响
①φ对函数＝（＋φ）图象的影响
②ω（ω>）对函数＝（ω＋φ）图象的影响
③（>）对函数＝（ω＋φ）图象的影响
（）由函数＝的图象得到函数＝（ω＋φ）的图象的途径
由函数＝的图象通过变换得到＝（ω＋φ）的图象有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
①先平移后伸缩
②先伸缩后平移
（）函数＝（ω＋φ）（>，ω>）中，、ω、φ的物理意义
①简谐运动的振幅就是；
②简谐运动的周期＝；
③简谐运动的频率＝＝；
④ω＋φ称为相位；
⑤＝时的相位φ称为初相．
[问题思考]
（）如何由＝的图象得到＝的图象？
提示：
将＝的图象向左平移个单位长度即可．
（）如何由＝的图象得到＝和＝的图象？
提示：
将＝的图象的横坐标变为原来的，即可得＝的图象；将＝的图象的横坐标伸长为原来的倍，即可得＝的图象．
（）对于同一个，函数＝，＝，＝的函数值有什么关系？
提示：
＝的函数值是＝的函数值的倍，而＝的函数值是＝的函数值的倍．
[课前反思]
（）、ω、φ对函数＝（ω＋φ）图象的影响：
；
（）由函数＝的图象得到＝（ω＋φ）的图象的途径：
；
（）函数＝（ω＋φ）中，、ω、φ的物理意义：
．
[思考] 用“五点法”作正弦函数＝和余弦函数＝的图象时，“五点”具体指哪些点？
名师指津：
用“五点法”作正弦函数＝的图象时，“五点”是指（，），，（π，），，（π，）；用“五点法”作余弦函数＝的图象时，“五点”是指（，），，（π，－），，（π，）．
讲一讲
．用“五点法”画函数＝的简图．
[尝试解答]先画函数在一个周期内的图象．令＝＋，则＝，列表
π
π
－
－
描点作图，再将图象左右延伸即可．
用“五点法”作函数＝（ω＋φ）图象的步骤
第一步：
列表.
ω＋φ
π
π
－
－
－
－
－
－
第二步：
在同一坐标系中描出各点．
第三步：
用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
练一练
．已知（）＝.
（）在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数（）在一个周期内的图象；
（）写出（）的单调递增区间；
（）求（）的最大值和此时相应的的值．
解：
（）列表：
＋
π
π
－
（）
－
作图：
（）由π－≤＋≤π＋，得π－≤≤π＋，∈.所以函数（）的单调递增区间为，∈.
（）当＋＝＋π，即＝＋π（∈）时，（）＝.
讲一讲
．由函数＝的图象如何得到函数＝－＋的图象？
[尝试解答]＝－＋＝＋.
＝＋.
解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意．
练一练
．如何由函数＝的图象得到函数＝＋的图象？
讲一讲
．如图是函数＝（ω＋φ）的图象的一部分，求此函数的解析式．
[尝试解答]法一：
（逐一定参法）
由图象知＝，＝－＝π，∴ω＝＝，
∴＝（＋φ）．
∵点在函数图象上，∴＝.
∴－×＋φ＝π，得φ＝＋π（∈）．
∵φ<，∴φ＝.
∴＝.
法二：
（待定系数法）
由图象知＝.∵图象过点和，
∴解得
∴＝.
法三：
（图象变换法）
由＝，＝π，点在图象上，可知函数图象由＝向左平移个单位长度而得，
所以＝，
即＝.
由＝（ω＋φ）的图象确定解析式的方法
（）第一零点法：
如果从图象可直接确定和ω，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“ω＋φ＝”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得φ.
（）特殊值法：
通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
（）图象变换法：
运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式＝ω，再根据图象平移规律确定相关的参数．
练一练
．如图为函数＝（ω＋φ）（>，ω>）的图象的一部分，试求该函数的解析式．
解：
由图可得：
＝，＝＝π.从而ω＝＝，故＝（＋φ），将代入得＝，取φ＝－，得＝.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．
．要掌握与函数＝（ω＋φ）的图象有关的三个问题
（）用“五点法”画函数＝（ω＋φ）的图象，见讲；
（）三角函数图象变换，见讲；
（）由函数图象确定解析式，见讲.
．本节课的易错点是由＝ω的图象变换得到＝（ω＋φ）的图象时，平移的单位为而不是φ.
课下能力提升（十一）
[学业水平达标练]
题组 “五点法”作图
．函数＝在区间上的简图是（ ）
解析：
选 当＝时，＝＝－<，故可排除、；当＝时，＝＝，排除.
．作出函数＝在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：
列表：
＝－
π
π
π
π
π
＝
－
描点画图（如图所示）．
题组 三角函数的图象变换
．将函数＝的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是（ ）
．奇函数．偶函数
．既是奇函数又是偶函数．非奇非偶函数
．为了得到＝，∈的图象，只需把余弦曲线上所有点的（ ）
．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
解析：
选ω＝>，因此只需把余弦曲线上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
．为了得到函数＝的图象，只需把函数＝的图象（ ）
．向左平移个单位长度
．向右平移个单位长度
．向左平移个单位长度
．向右平移个单位长度
解析：
选＝＋φＦ＝＝，即＋φ＋＝－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．→＋φＦ＝＝，即＋φ＋＝－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．
．把函数＝＋的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），然后向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的图象是（ ）
解析：
选 变换后的三角函数为＝（＋），结合四个选项可得选项正确．
．已知函数（）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的倍，然后把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与＝的图象相同，求（）的解析式．
解：
反过来想，
题组 由图象确定函数的解析式
．若函数＝（ω＋φ）（ω>）的部分图象如图，则ω＝（ ）
．．
．．
解析：
选 由函数的图象可得＝·＝－＝，解得ω＝.
．如图是＝（ω＋φ）（>，ω>）的图象的一部分，则它的一个解析式为（ ）
．＝．＝
．＝．＝
解析：
选 由图象可知，＝，＝－＝π，∴ω＝，∴＝（＋φ）．将点代入上式，得＝·，则φ－＝，得φ＝，∴＝，故选.
．已知函数（）＝（ω＋φ）（ω>，≤φ≤π）是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解：
由（）是偶函数，得（－）＝（），
即函数（）的图象关于轴对称，
∴（）在＝时取得最值，即φ＝或－.
依题设≤φ≤π，∴φ＝.
由（）的图象关于点对称，可知
＝，
则ω＋＝π，∈，解得ω＝－（∈），
又（）在上是单调函数，
所以≥π，即≥π.
∴ω≤.又ω>，
∴＝时，ω＝；＝时，ω＝.
故φ＝，ω＝或.
[能力提升综合练]
．简谐运动＝的相位与初相是（ ）
．－，．－，
．－，－．，
解析：
选 相位是－，当＝时的相位为初相即－.
．已知函数＝（ω＋φ）＋（>，ω>）的最大值为，最小值为，最小正周期为，直线＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）
．＝．＝＋
．＝＋．＝＋
解析：
选 由函数＝（ω＋φ）＋的最大值为，最小值为，可知＝，＝.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝.由直线＝是其图象的一条对称轴，可知×＋φ＝π＋，∈，从而φ＝π－，∈，故满足题意的是＝＋.
．已知函数（）＝（ω＋φ）（ω>）的图象关于直线＝对称，且＝，则ω的最小值为（ ）
．．．．
解析：
选 函数（）的周期≤＝π，则≤π，解得ω≥，故ω的最小值为.
．函数＝（ω＋φ）（>，ω>）的部分图象如图所示，则（）＋（）＋（）＋…＋（）的值等于（ ）
．＋＋－
解析：
选 由图可知＝，φ＝，＝，
∴＝，即ω＝，∴（）＝.
∵周期为，且（）＋（）＋…＋（）＝，
∴（）＋（）＋…＋（）＝（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＝＋＋＋π＋＋＝.
．如图所示的曲线是＝（ω＋φ）（>，ω>）的图象的一部分，则这个函数的解析式是．
解析：
由函数图象可知＝，＝＝π，即＝π，故ω＝.
又是五点法作图的第五个点，即×＋φ＝π，则φ＝.故所求函数的解析式为＝.
答案：
＝
．已知函数（）＝（ω>）和（）＝（＋φ）＋的图象的对称轴完全相同．若∈，则（）的取值范围是．
解析：
由题意知，ω＝，因为∈，所以－∈，故（）的最小值为（）＝＝－，最大值为＝＝，所以（）的取值范围是.
答案：
．函数（）＝（ω＋φ）的一段图象如图所示．
（）求（）的解析式；
（）把（）的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：
（）＝，＝＝π，ω＝.
由（）＝过，
得＝，又φ<，故φ＝－，
∴（）＝.
（）由（＋）＝＝为偶函数（>），
知－＝π＋，即＝π＋，∈.
∵>，∴＝.
故把（）的图象向左至少平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
．已知曲线＝（ω＋φ）（>，ω>）上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与轴交于点，若φ∈.
（）试求这条曲线的函数解析式；
（）写出函数的单调区间．
解：
（）依题意，＝，＝×＝π，
∵＝＝π，ω>，∴ω＝.∴＝.
∵曲线上的最高点为，
∴＝.∴φ＋＝π＋.
∵－<φ<，∴φ＝.∴＝.
（）∴令π－≤＋≤π＋，∈，
∴π－≤≤π＋，∈.
∴函数（）的单调递增区间为（∈）．
令π＋≤＋≤＋π，∈，
∴π＋≤≤π＋，∈.∴函数（）的单调递减区间为（∈）．
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