高中数学人教a版高二必修五章末综合测评1 有答案Word文档下载推荐.docx
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sinA，∴
<
π.②
由①②得，
【答案】 C
3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为（ ）【导学号：
05920080】
A．（8,10）B．（2
，
）
C．（2
，10）D．（
，8）
【解析】 设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×
3cosA<
12＋32＝10，
32＝1＋a2－2×
acosB<
1＋a2，
∴2
<
a<
【答案】 B
4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16
，则三角形的面积为（ ）
A．2
B．8
【解析】 ∵
＝
＝2R＝8，
∴sinC＝
，∴S△ABC＝
absinC＝
5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝（a＋c，b），q＝（b－a，c－a），若p∥q，则角C的大小为（ ）
B.
C.
【解析】 p∥q⇒（a＋c）（c－a）－b（b－a）＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0⇒
＝cosC.
∴C＝
6．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2
，则下面等式一定成立的是（ ）
A．A＝BB．A＝C
C．B＝CD．A＝B＝C
【解析】 由sinBsinC＝cos2
⇒2sinBsinC＝1＋cosA⇒cos（B－C）－cos（B＋C）＝1＋cosA.
又cos（B＋C）＝－cosA⇒cos（B－C）＝1，∴B－C＝0，即B＝C.
7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°
，β＝70°
，AC＝90mm，BC＝150mm，则DE的长等于（ ）
图1
A．210mmB．200mm
C．198mmD．171mm
【解析】 ∠ACB＝70°
＋50°
＝120°
，在△ABC中应用余弦定理可以求出AB的长，即为DE的长．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝（a－b）2＋6，C＝
，则△ABC的面积是（ ）
A．3B.
D．3
【解析】 ∵c2＝（a－b）2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝
，∴c2＝a2＋b2－2abcos
＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝
×
6×
9．东省实验中学期末考试）已知在△ABC中，sinA＋sinB＝sinC（cosA＋cosB），则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．直角三角形
【解析】 由正弦定理和余弦定理得a＋b＝c
＋
，即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴（a＋b）（a2＋b2）＝（a＋b）c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D.
【答案】 D
10．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A＝（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】 由已知得a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝
＝－
又0°
180°
，∴A＝120°
11．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cosA等于（ ）
D．0
【解析】 ∵CD为∠ACB的平分线，
∴D到AC与D到BC的距离相等．
∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等．
∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴
由正弦定理
，又∵B＝2A，
∴
，即
，∴cosA＝
12.如图2，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°
，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°
，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ（ ）
图2
＋1B．2
－1
－1D．
＋1
【解析】 在△ABC中，BC＝
＝50（
－
），
在△BCD中，sin∠BDC＝
－1，
又∵cosθ＝sin∠BDC，∴cosθ＝
－1.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13．冈高级中学高二期中测试）△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为．
【解析】 ∵cosC＝
，且∠C为钝角．
∴cosC<
0，∴a2＋b2－c2<
0.故a2＋b2<
c2.
【答案】 a2＋b2<
c2
14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝.
【解析】 由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝
b，c＝
b，
所以cosC＝
.因为C∈（0，π），所以C＝
【答案】
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则
的值等于，AC的取值范围为．
【解析】 设A＝θ⇒B＝2θ.
由正弦定理得
＝1⇒
＝2.
由锐角△ABC得0°
2θ<
⇒0°
θ<
45°
－3θ<
⇒30°
60°
故30°
⇒
cosθ<
∴AC＝2cosθ∈（
）．
【答案】 2 （
16．国卷Ⅰ）如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°
，C点的仰角∠CAB＝45°
以及∠MAC＝75°
；
从C点测得∠MCA＝60°
.已知山高BC＝100m，则山高MN＝m.
图3
【解析】 根据图示，AC＝100
m.
在△MAC中，∠CMA＝180°
－75°
－60°
＝45°
⇒AM＝100
在△AMN中，
＝sin60°
∴MN＝100
＝150（m）．
【答案】 150
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝
a.
（1）求
（2）若c2＝b2＋
a2，求B.
【解】
（1）由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝
sinA，即sinB（sin2A＋cos2A）＝
sinA.
故sinB＝
sinA，所以
（2）由余弦定理和c2＝b2＋
a2，
得cosB＝
由
（1）知b2＝2a2，故c2＝（2＋
）a2.
可得cos2B＝
，又cosB>
0，
故cosB＝
，所以B＝45°
18．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝
（1）若b＝4，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
【解】
（1）∵cosB＝
0，且0<
B<
π，
∴sinB＝
sinA＝
（2）∵S△ABC＝
acsinB＝4，
2×
c×
＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×
5×
＝17，∴b＝
19．（本小题满分12分）在△ABC中，∠A＝
，AB＝6，AC＝3
，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
【解】 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝（3
）2＋62－2×
3
cos
＝18＋36－（－36）＝90，
所以a＝3
又由正弦定理得sinB＝
由题设知0<
所以cosB＝
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝
20．（本小题满分12分）某观测站在城A南偏西20°
方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°
，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
【解】 如图所示，
设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝
∴sinβ＝
而sinα＝sin（β－60°
）＝sinβcos60°
－sin60°
cosβ＝
在△ACD中，
∴AD＝
＝15（千米）．
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21．（本小题满分12分）阳模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C＋2
cosC＋2＝0.
（1）求角C的大小；
（2）若b＝
a，△ABC的面积为
sinAsinB，求sinA及c的值.【导学号：
05920081】
【解】
（1）∵cos2C＋2
cosC＋2＝0，
∴2cos2C＋2
cosC＋1＝0，即（
cosC＋1）2＝0，
∴cosC＝－
又C∈（0，π），∴C＝
（2）∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2＋2a2＝5a2，
∴c＝
a，即sinC＝
sinA，
∴sinA＝
sinC＝
∵S△ABC＝
absinC，且S△ABC＝
sinAsinB，
，由正弦定理得
2sinC＝
，解得c＝1.
22．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝msinx＋
cosx（m>
0）的最大值为2.
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若△ABC中，f
＋f
＝4
sinAsinB，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C＝60°
，c＝3，求△ABC的面积．
【解】
（1）由题意，f（x）的最大值为
，所以
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