31 函数的概念及其表示法.docx
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31函数的概念及其表示法
教学教案
授课班级：
课程名称：
使用教材：
（出版社）：
教材编者：
教师姓名：
学期：
200~20学年度学期
序号
章节
授课内容
教案首页
第7周授课时间：
10--16
课程名称
数学
年级
专业
计算机
授课教师周利群
职称
课型（大、小）
学时
4
授课题目（章、节）
§3.1函数的概念及其表示法
基本教材或主要参考书
数学（基础模块）上册
数学教学参考（基础模块）
教学目的与要求（或实训目的与要求）：
知识目标：
（1）理解函数的定义；
（2）理解函数值的概念及表示；
（3）理解函数的三种表示方法；
（4）掌握利用“描点法”作函数图像的方法．
能力目标：
（1）通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；
（2）通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；
（3）会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．
安全教育（或安全防患措施、注意事项）：
大体内容与时间安排，教学方法（或实训分组及实训具体安排）：
§3.1函数的概念及其表示法4课时（180分钟）
教学重点、难点（或技术重点）：
教学重点：
（1）函数的概念；
（2）利用“描点法”描绘函数图像．
教学难点：
（1）对函数的概念及记号
的理解；
（2）利用“描点法”描绘函数图像．
板书设计（或示范操作安排、工艺操作规程）：
§3.1.1函数的概念§3.1.2函数的表示法
1.兴趣导入6.函数的表示法
2.函数定义解析法
3.函数的值域图像法
4.典型例题列表法
例17描点法画函数图像
例2例4
例3例5
5.课堂练习8.巩固练习
9.作业布置
教学过程与步骤（操作训练程序）
辅助手段和时间分配
3.1函数的概念及其表示法
1.兴趣导入
问题
学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？
解决
设购买果汁饮料
瓶，应付款为
，则计算购买果汁饮料应付款的算式为
．
归纳
因为
表示购买果汁饮料瓶数，所以
可以取集合
中的任意一个值，按照算式法则
，应付款
有唯一的值与之对应．
两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系．
2.函数的定义
在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则
，
都有唯一确定的值与它对应，那么，把
叫做自变量，把
叫做
的函数．
表示
将上述函数记作
．
变量
叫做自变量，数集D叫做函数的定义域．
3.函数的值域
当
时，函数
对应的值
叫做函数
在点
处的函数值．记作
.
函数值的集合
叫做函数的值域．
函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素．
说明.
定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数
与
表示的是同一个函数
4.典型例题
例１ 求下列函数的定义域：
（１）
； （２）
．
分析 如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合．
解 （１）由
，得
．
因此函数的定义域为
，
用区间表示为
．
（２）由
，得
．
因此函数的定义域为
．
归纳 代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零．
例2设
，求
，
，
，
．
分析 本题是求自变量
时对应的函数值，方法是将
代入函数表达式求值．
解
，
，
，
．
例3 指出下列各函数中，哪个与函数
是同一个函数：
（1）
；
（2）
；（3）
．
解
（1）函数
的定义域为
，函数
的定义域为R．它们的定义域不同，因此不是同一个函数；
（2）函数
这个函数与
的定义域相同，都是R．但是它们的对应法则不同，因此不是同一个函数；
（3）尽管表示两个函数的字母不同，但是定义域与对应法则都相同，所以它们是同一个函数．
5.课堂练习
教材练习3.1.1
1．求下列函数的定义域：
（1）
；
（2）
．
2．已知
，求
，
，
．
3．判定下列各组函数是否为同一个函数：
（1）
，
；
（2）
，
§3.1.2函数的表示法
问题观察下面的三个例子，分别用什么样的形式表示函数：
1.观察某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表：
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
最高气温
29
29
28
30
25
28
29
28
29
30
由表中可以清楚地看出日期
和最高气温
（
）之间的函数关系．
2.某气象站用温度自动记录仪记录下来的2008年11月29日0时至14时的气温
（
）随时间
（h）变化的曲线如下图所示：
曲线形象地反映出气温
（
）与时间
（h）之间的函数关系，这里函数的定义域为
．对定义域中的任意时间
，有唯一的气温
与之对应．例如，当
时，气温
；当
时，气温
．
3.用S来表示半径为
的圆的面积，则
．这个公式清楚地反映了半径
与圆的面积S之间的函数关系，这里函数的定义域为
．以任意的正实数
为半径的圆的面积为：
．
6.函数的表示方法:
常用的有列表法、图像法和解析法三种.
（1）列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的.
用列表法表示函数关系的优点：
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
（2）图像法：
就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系.
例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.
用图像法表示函数关系的优点：
能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.
（3）解析法：
把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
典型例题
例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．
分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．
解 设
表示购买的铅笔数（支），
表示应付款额（元），则函数的定义域为
．
（1）根据题意得，函数的解析式为
，故函数的解析法表示为
，
．
（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．
/支
1
2
3
4
5
6
/元
0.12
0.24
0.36
0.48
0.6
0.72
（3）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．
7.描点法
“已知函数的解析式，作函数图像”的具体步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）选取自变量x的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y，列出表格；
（3）以表格中x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点
；
（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线．
这种作函数图像的方法叫做描点法．
例5利用“描点法”作出函数
的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点（求对应函数值时，精确到0.01）．
解
（1）函数的定义域为
．
（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值
，列表：
0
1
2
3
4
5
…
0
1
1.41
1.73
2
2.24
…
（3）以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（
）．由于
，所以点
是图像上的点．
（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像.
巩固练习
教材练习3.1.2
1．判定点
，
是否在函数
的图像上．
2．市场上土豆的价格是3.2元／kg，应付款额y是购买土豆数量x的函数．请分别用解析法和图像法表示这个函数．
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课件
质疑
引导
分析15分钟
讲解
关键
词语
说明25分钟
质疑
说明
引领
强调
讲解
分析
说明
引领
分析
40分钟
讲解
提问
巡视
指导60分钟
质疑
引导
分析
质疑
引导
分析
说明
启发
引导80分钟
总结
归纳
介绍
说明
举例
说明90分钟
质疑
说明
强调
引领
讲解
启发
分析
110分钟
归纳
总结120分钟
启发
引导
分析
讲解
140分钟
提问
巡视
指导160分钟
课堂小结（或训练小结）
（1）本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么
（2）本次课采用了怎样的学习方法？
（3）你是如何进行学习的？
（4）你的学习效果如何？
180分钟
作业布置（或课外活动安排）
（1）读书部分：
教材章节3.1，学习与训练3.1；
（2）书面作业：
学习与训练3.1训练题；
（3）实践调查：
举出函数的生活实例．
下次课预习要点
实施情况及分析（或实训效果、评分）
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