高中数学必修五北师大版 不等式 章末复习课 学案文档格式.docx
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0；
其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>
0，下面分三种情况计算a的取值范围．
设f（x）＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝（－2a）2－4（a＋2）＝4（a2－a－2），
①当Δ<
0时，－1<
a<
2，M＝∅⊆[1,4]，满足题意；
②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}⃘[1,4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]，满足题意．
③当Δ>
0时，a<
－1或a>
2.
设方程f（x）＝0的两根为x1，x2，且x1<
x2，
那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1<
x2≤4
⇔
即
解得2<
a≤
，
综上可知，当M⊆[1,4]时，a的取值范围是（－1，
]．
反思与感悟
（1）三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x1<
x2≤4，要是用求根公式来解就相当麻烦，用
则可化归为简单的一元一次不等式组．
（2）用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．
跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<
0的解集是（1，m），则m＝________.
答案 2
解析 因为ax2－6x＋a2<
0的解集是（1，m），
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>
1，
⇒
类型二 规划问题
例2 已知变量x，y满足约束条件
求z＝2x＋y的最大值和最小值．
解 如图，阴影部分（含边界）为不等式组所表示的可行域．
设l0：
2x＋y＝0，l：
2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；
当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．
上下平移直线l0，可得当l0过点A（5,2）时，zmax＝2×
5＋2＝12；
当l0过点B（1,1）时，zmin＝2×
1＋1＝3.
反思与感悟
（1）因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；
（2）线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小．
跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；
乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．
解 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌（x＋2y）个，绘画标牌（2x＋y）个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分（含边界）所示．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A（2,1），
即最优解为（2,1）．
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
类型三 利用基本不等式求最值
命题角度1 无附加条件型
例3 设f（x）＝
.
（1）求f（x）在[0，＋∞）上的最大值；
（2）求f（x）在[2，＋∞）上的最大值．
解
（1）当x>
0时，有x＋
≥2，
∴f（x）＝
＝
≤25.
当且仅当x＝
，即x＝1时等号成立，
∴f（x）在[0，＋∞）上的最大值是25.
（2）∵函数y＝x＋
在[2，＋∞）上是增函数且恒为正，
在[2，＋∞）上是减函数，且f
（2）＝20.
∴f（x）在[2，＋∞）上的最大值为20.
反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．
跟踪训练3 求函数y＝
＋x（x＞3）的最小值．
解 ∵y＝
＋x＝
＋（x－3）＋3，x＞3，
∴x－3＞0，
＞0，
∴y≥2
＋3＝5.
当且仅当
＝x－3，
即x＝4时，y有最小值5.
命题角度2 有附加条件的最值问题
例4 函数y＝a1－x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0（mn＞0）上，则
＋
的最小值为________．
答案 4
解析 方法一 y＝a1－x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1,1），
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
∴
≥
＝4，
当且仅当m＝n＝
时，取等号．
方法二
＝（m＋n）（
）
＝2＋
≥2＋2
即m＝n＝
时取等号．
min＝4.
反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：
一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；
一个是直接利用该等式代入，或构造定值．
跟踪训练4 设x，y都是正数，且
＝3，求2x＋y的最小值．
解 ∵
＝3，
＝1.
∴2x＋y＝（2x＋y）×
1＝（2x＋y）×
，即y＝2x时，取等号．
又∵
＝3，∴x＝
，y＝
∴2x＋y的最小值为
1．设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝4x＋2y的最大值为（ ）
A．12B．10C．8D．2
答案 B
解析 画出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时，纵截距
最大．
解方程组
得A（2,1），
所以zmax＝4×
2＋2×
1＝10.
2．若不等式ax2＋bx－2>
0的解集为{x|－2<
x<
－
}，则a＋b等于（ ）
A．－18B．8C．－13D．1
答案 C
解析 ∵－2和－
是方程ax2＋bx－2＝0的两根．
∴a＋b＝－13.
3．设a>
b>
0，则a2＋
的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 a2＋
＝a2－ab＋ab＋
＝a（a－b）＋
＋ab＋
≥2＋2＝4.
当且仅当a（a－b）＝1且ab＝1，
即a＝
，b＝
1．不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．
2．一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>
0（或≥0，<
0，≤0）（其中a≠0）的求解，要联想两个方面的问题：
二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；
方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>
0，Δ＝0，Δ<
0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>
0，≤0）（a>
0）的解集．
3．二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点（x，y），实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点（x0，y0），根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．
4．求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．
5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：
①“一正”——各项为正数；
②“二定”——“和”或“积”为定值；
③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
40分钟课时作业
一、选择题
1．若a<
0，－1<
b<
0，则有（ ）
A．a>
ab>
ab2B．ab2>
a
C．ab>
a>
ab2D．ab>
ab2>
解析 ∵a<
0，
∴ab>
0，ab2<
0.
a，ab>
ab2.
∵0<
1＋b<
1,1－b>
1>
∴a－ab2＝a（1－b2）＝a（1＋b）（1－b）<
∴a<
ab2，
ab2<
ab.
2．原点和点（1,1）在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是（ ）
A．a<
0或a>
2B．0<
2
C．a＝0或a＝2D．0≤a≤2
解析 原点和点（1,1）在直线x＋y＝a两侧，将原点（0,0）和点（1,1）代入x＋y－a中，结果异号，即－a（1＋1－a）<
0，故0<
3．不等式
≤2的解集是（ ）
A．{x|x<
－8或x>
－3}B．{x|x≤－8或x>
－3}
C．{x|－3≤x≤2}D．{x|－3<
x≤2}
解析 原不等式可化为
－2≤0，即
≤0，即（x＋3）（x＋8）≥0且x≠－3，解得x≤－8或x>
－3.
4．若实数x，y满足
则
的取值范围是（ ）
A．（－1,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C．（－∞，－1）D．[1，＋∞）
解析 可行域如图阴影部分，
的几何意义是区域内的点与点（1,0）连线的斜率，易求得
>
1或
<
－1.
5．如果a∈R，且a2＋a<
0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是（ ）
A．a2>
－a2>
－aB．－a>
a2>
C．－a>
－a2D．a2>
－a>
－a2
解析 ∵a2＋a<
∴a（a＋1）<
0，∴－1<
取a＝－
，可知－a>
a.
6．已知函数y＝x－4＋
（x>
－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于（ ）
A．－3B．2C．3D．8
解析 y＝x－4＋
＝（x＋1）＋
－5，
因为x>
－1，所以x＋1>
所以y≥2
－5＝2×
3－5＝1，
当且仅当x＋1＝
，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1，
所以a＋b＝3.
二、填空题
7．已知x，y∈（0，＋∞），且满足
＝1，则xy的最大值为________．
答案 3
解析 因为x>
0，y>
＝1，
所以
≥2
（当
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