初二几何之动点问题.docx
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中考数学动点几何问题
※动点求最值:
两定一动型（“两个定点，一个动点”的条件下求最值。
例如上图中直线l的同侧有两个定点A、B,在直线l上有一动点）
例1、以正方形为载体如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是
例2、以直角梯形为载体如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为
一定两动型（“一个定点”+“两个动点”）
例3、以三角形为载体如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是
例4、以正方形、圆、角为载体正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上的一动点.连接BP，EP，则PB+PE的最小值是
例5、⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=60°，P是OB上的一动点，PA+PC的最小值是
例6、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是.
例7：
在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,
（1）求△ABC的面积；
A
C
B
（2）现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。
如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？
（3）在第
（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？
例8：
如图（3），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为何值时，与相互平分；
（3）连结设的面积为求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？
求最大值？
图（3）
Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
Ec
※动点构成特殊图形
例9、如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．
（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；
②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；
（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．
O
E
C
B
D
A
l
O
C
B
A
（备用图）
例10、如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？
若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？
若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
例11、数学课上，张老师出示了问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：
AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：
如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：
如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
例12、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：
AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？
如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？
请说明理由.
※利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
例13：
如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当Q的运动速度为多少时，使与全等？
A
Q
C
D
B
P
（2）若Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
例14：
（如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端
点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
O
A
P
D
B
Q
C
（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
A
B
O
C
D
P
Q
（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？
例15如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?
如果能，求x的值；如不能，请说明理由．
A
B
D
C
P
Q
M
N
（第25题）
课下练习：
1.直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．
（1）直接写出两点的坐标；
（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
（3）若，求的坐标，并直接写出点为顶点的平行四边形第四个顶点的坐标．
x
A
O
Q
P
B
y
2.已知：
等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？
并求出该矩形的面积；
C
P
Q
B
A
M
N
（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
3.如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A（3,0）,B（0,）两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
（1）求直线AB的解析式;
（2）若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;
（3）在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。
图①
B
A
Q
P
C
H
5.已知：
如图①，在RtΔABC中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设ΔAQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtΔABC的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把ΔPQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？
若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
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