高中数学人教A版必修5课时作业6 应用举例第2课时正余弦定理的综合应用Word下载.docx
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.
即
×
2AC×
＝
，∴AC＝1，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·
AC·
cosA＝22＋12－2×
2×
1×
＝3.∴BC＝
4．在△ABC中，2acosB＝c，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
解析 方法一 由余弦定理，得2a
＝c.所以a2＋c2－b2＝c2.则a＝b.则△ABC是等腰三角形．
方法二 由正弦定理，得2×
2RsinAcosB＝2RsinC，即2sinAcosB＝sinC.又sin（A＋B）＋sin（A－B）＝2sinAcosB，所以sin（A＋B）＋sin（A－B）＝sinC.又A＋B＋C＝π，所以sin（A＋B）＝sinC.所以sin（A－B）＝0.又0<
A<
π，0<
B<
π，则－π<
A－B<
π.所以有A＝B，则△ABC是等腰三角形．
讲评 方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；
方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin（A＋B）＋sin（A－B）＝2sinAcosB，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．
5．（2013·
安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝（ ）
B.
D.
解析 ∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①
又b＋c＝2a，②
∴由①②可得，a＝
b，c＝
b.
∴cosC＝
＝－
∴C＝
π.
6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x，则x的取值范围是（ ）
A．1<
x<
B．4<
C．1<
4D．4<
答案 D
解析 若5最大，则32＋x2－52>
0，得x>
4.
若x最大，则32＋52－x2>
0，得0<
又2<
8，则4<
7．在△ABC中，已知sinA∶sinB＝
∶1，c2＝b2＋
bc，则三内角A、B、C的度数依次是________．
答案 45°
、30°
、105°
解析 ∵a＝
b，a2＝b2＋c2－2bccosA.
∴2b2＝b2＋c2－2bccosA，又∵c2＝b2＋
bc，
∴cosA＝
，A＝45°
，sinB＝
，B＝30°
，∴C＝105°
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（
b－c）cosA＝acosC，则cosA＝______.
答案
解析 由正弦定理，得（
sinB－sinC）cosA＝sinAcosC.
化简得
sinBcosA＝sin（A＋C）．
∵0<
sinB≤1，∴cosA＝
9．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.
（1）求B的大小；
（2）若a＝3
，c＝5，求b.
解析
（1）由a＝2bsinA，得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝
由△ABC为锐角三角形，得B＝
（2）根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2acosB＝27＋25－45＝7，所以b＝
10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.
（1）求A的大小；
（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解析
（1）由已知，根据正弦定理，得2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.
故cosA＝－
，又A∈（0，π），故A＝120°
（2）由
（1）得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.
又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝
因为0°
<
90°
，0°
C<
，故B＝C.
所以△ABC是等腰的钝角三角形．
11．在△ABC中，已知B＝45°
，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
解析 在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理，得
cos∠ADC＝
∴∠ADC＝120°
，∠ADB＝60°
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°
，
由正弦定理，得
∴AB＝
＝5
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝
（a2＋b2－c2）．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA＋sinB的最大值．
解析
（1）由题意可知
absinC＝
·
2abcosC，
所以tanC＝
.因为0<
π，所以C＝
（2）由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin（π－C－A）
＝sinA＋sin（
－A）＝sinA＋
cosA＋
sinA
sin（A＋
）≤
当△ABC为正三角形时取等号，
所以sinA＋sinB的最大值是
13．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.
（2）求sinB＋sinC的最大值．
解析
（1）由已知，根据正弦定理，得2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.
，A＝120°
（2）由
（1），得sinB＋sinC＝sinB＋sin（60°
－B）
cosB＋
sinB＝sin（60°
＋B）．
故当B＝30°
时，sinB＋sinC取得最大值1.
►重点班·
选作题
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－
（1）求sinC的值；
（2）当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．
解析
（1）因为cos2C＝1－2sin2C＝－
，及0<
π，所以sinC＝
（2）当a＝2,2sinA＝sinC时，
由正弦定理
，得c＝4.
由cos2C＝2cos2C－1＝－
π得cosC＝±
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得
b2±
b－12＝0，解得b＝
或2
所以
或
1．（2013·
辽宁）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝
b，且a>
b，则∠B＝（ ）
B.
解析 根据正弦定理，得asinBcosC＋csinBcosA＝
b等价于sinAcosC＋sinCcosA＝
，即sin（A＋C）＝
又a>
b，∴∠A＋∠C＝
，∴∠B＝
.故选A项．
2．（2012·
北京）在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－
，则b＝________.
答案 4
解析 由余弦定理，得cosB＝
，解得b＝4.
3．（2011·
湖北）设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝________.
解析 ∵由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，整理，可得a2＋b2－c2＝－ab.
，∴C＝
4．（2013·
北京）在△ABC中，a＝3，b＝2
，∠B＝2∠A.
（1）求cosA的值；
（2）若c的值．
解析
（1）因为a＝3，b＝2
，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得
.故cosA＝
（2）由
（1）知，cosA＝
，所以sinA＝
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝
所以sinB＝
在△ABC中，sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝
所以c＝
＝5.
江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋（cosA－
sinA）cosB＝0.
（1）求角B的大小；
（2）若a＋c＝1，求b的取值范围．
解析
（1）由已知得－cos（A＋B）＋cosAcosB－
sinAcosB＝0，即有sinAsinB－
sinAcosB＝0.
因为sinA≠0，所以sinB－
cosB＝0.
又cosB≠0，所以tanB＝
，又0<
π，所以B＝
（2）由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.
因为a＋c＝1，cosB＝
，所以b2＝3（a－
）2＋
又0<
a<
1，于是有
≤b2<
1，即
≤b<
1.
6．（2013·
四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2
cosB－sin（A－B）sinB＋cos（A＋C）＝－
（2）若a＝4
，b＝5，求向量
在
方向上的投影．
解析
（1）由2cos2
，得[cos（A－B）＋1]cosB－sin（A－B）sinB－cosB＝－
即cos（A－B）cosB－sin（A－B）sinB＝－
则cos（A－B＋B）＝－
，即cosA＝－
（2）由cosA＝－
，0<
π，得sinA＝
由正弦定理，有
，所以，sinB＝
由题知a>
b，则A>
B，故B＝
根据余弦定理，有（4
）2＝52＋c2－2×
5c×
（－
），解得c＝1或c＝－7（舍去）．
故向量
方向上的投影为|
|cosB＝
7．（2013·
重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋
bc.
（1）求A；
（2）设a＝
，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
解析
（1）由余弦定理，得
cosA＝
又因0<
π，所以A＝
（2）由
（1）得sinA＝
，又由正弦定理及a＝
S＝
bcsinA＝
asinC＝3sinBsinC.
因此，S＋3cosBcosC＝3（sinBsinC＋cosBcosC）＝3cos（B－C）．
所以，当B＝C，即B＝
时，S＋3cosBcosC取最大值3.
8．（2012·
新课标全国）已知a，b
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