23函数的奇偶性与周期性.docx

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23函数的奇偶性与周期性

§2.3　函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数,关于y轴对称

奇函数,如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数,关于原点对称

2.周期性

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）函数f（x）＝0，x∈（0，＋∞）既是奇函数又是偶函数．（　×　）

（2）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（　√　）

（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．（　√　）

（4）若函数f（x）＝

为奇函数，则a＝2.（　√　）

（5）函数f（x）在定义域上满足f（x＋a）＝－f（x），则f（x）是周期为2a（a>0）的周期函数．（　√　）

（6）函数f（x）为R上的奇函数，且f（x＋2）＝f（x），则f（2014）＝0.（　√　）

2．（2013·山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x>0时，f（x）＝x2＋

，则f（－1）等于（　　）

A．－2B．0C．1D．2

答案　A

解析　f（－1）＝－f

（1）＝－（1＋1）＝－2.

3．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－

B.

C.

D．－

答案　B

解析　依题意b＝0，且2a＝－（a－1），

∴a＝

，则a＋b＝

.

4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（2015）等于（　　）

A．－2B．2C．－98D．98

答案　A

解析　∵f（x＋4）＝f（x），

∴f（x）是以4为周期的周期函数，

∴f（2015）＝f（503×4＋3）＝f（3）＝f（－1）．

又f（x）为奇函数，

∴f（－1）＝－f

（1）＝－2×12＝－2，即f（2015）＝－2.

5．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lgx，则满足f（x）>0的x的取值范围是________．

答案　（－1,0）∪（1，＋∞）

解析　画草图，由f（x）为奇函数知：

f（x）>0的x的取值范围为

（－1,0）∪（1，＋∞）.

题型一　判断函数的奇偶性

例1

　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝

＋

；

（2）f（x）＝（x＋1）

；

（3）f（x）＝

.

思维启迪　确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f（－x）＝±f（x）或其等价形式f（－x）±f（x）＝0是否成立．

解　

（1）由

，得x＝±3.

∴f（x）的定义域为{－3,3}，关于原点对称．

又f（3）＋f（－3）＝0，f（3）－f（－3）＝0.

即f（x）＝±f（－x）．

∴f（x）既是奇函数，又是偶函数．

（2）由

，得－1

∵f（x）的定义域（－1,1]不关于原点对称．

∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（3）由

，得－2≤x≤2且x≠0.

∴f（x）的定义域为[－2,0）∪（0,2]，关于原点对称．

∴f（x）＝

＝

.

∴f（x）＝－f（－x），∴f（x）是奇函数．

思维升华　

（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

（2）在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立．

　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝

；

（2）f（x）＝

.

解　

（1）由

，得定义域为（－1,0）∪（0,1），

f（x）＝

＝－

.

∵f（－x）＝－

＝－

＝－f（x）．

∴f（x）为奇函数．

（2）f（x）的定义域为R，关于原点对称，

当x>0时，f（－x）＝－（－x）2－2＝－（x2＋2）＝－f（x）；

当x<0时，f（－x）＝（－x）2＋2＝－（－x2－2）＝－f（x）；

当x＝0时，f（0）＝0，也满足f（－x）＝－f（x）．

故该函数为奇函数．

题型二　函数周期性的应用

例2

（1）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；当－1≤x<3时，f（x）＝x.则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2015）等于（　　）

A．335B．336C．1678D．2012

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x＋2）＝－

，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝________.

思维启迪　

（1）f（x）的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的变化情况求和．

（2）通过题意先确定函数的周期性．

答案　

（1）B　

（2）2.5

解析　

（1）利用函数的周期性和函数值的求法求解．

∵f（x＋6）＝f（x），∴T＝6.

∵当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；

当－1≤x<3时，f（x）＝x，

∴f

（1）＝1，f

（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－1，f（4）＝f（－2）＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0，

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（6）＝1，

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（6）＝f（7）＋f（8）＋…＋f（12）＝…＝f（2005）＋f（2006）＋…＋f（2010）＝1，

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2010）＝1×

＝335.

而f（2011）＋f（2012）＋f（2013）＋f（2014）＋f（2015）

＝f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝1＋2－1＋0－1＝1.

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2015）＝335＋1＝336.

（2）由已知，可得f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]

＝－

＝－

＝f（x）．

故函数的周期为4.

∴f（105.5）＝f（4×27－2.5）＝f（－2.5）＝f（2.5）．

∵2≤2.5≤3，由题意，得f（2.5）＝2.5.

∴f（105.5）＝2.5.

思维升华　

（1）函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．

（2）求函数周期的方法

（1）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f

（1）＝1，f

（2）＝2，则f（3）－f（4）等于（　　）

A．－1B．1C．－2D．2

（2）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f

等于（　　）

A．－

B．－

C.

D.

答案　

（1）A　

（2）A

解析　

（1）由f（x）是R上周期为5的奇函数知

f（3）＝f（－2）＝－f

（2）＝－2，

f（4）＝f（－1）＝－f

（1）＝－1，

∴f（3）－f（4）＝－1，故选A.

（2）∵f（x）是周期为2的奇函数，

∴f

＝f

＝f

＝－f

＝－2×

×

＝－

.

题型三　函数性质的综合应用

例3

　设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.

（1）求f（π）的值；

（2）当－4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积；

（3）写出（－∞，＋∞）内函数f（x）的单调区间．

思维启迪　可以先确定函数的周期性，求f（π）；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间．

解　

（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，

f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），

所以f（x）是以4为周期的周期函数，

∴f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）

＝－（4－π）＝π－4.

（2）由f（x）是奇函数与f（x＋2）＝－f（x），

得：

f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，

即f（1＋x）＝f（1－x）．

故知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，

则S＝4S△OAB＝4×

＝4.

（3）函数f（x）的单调递增区间为[4k－1,4k＋1]（k∈Z），

单调递减区间为[4k＋1,4k＋3]（k∈Z）．

思维升华　关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．

（1）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）

的x的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（　　）

A．f（－25）

B．f（80）

C．f（11）

D．f（－25）

答案　

（1）A　

（2）D

解析　

（1）偶函数满足f（x）＝f（|x|），根据这个结论，

有f（2x－1）

⇔f（|2x－1|）

，

进而转化为不等式|2x－1|<

，

解这个不等式即得x的取值范围是

.

（2）由函数f（x）是奇函数且f（x）在[0,2]上是增函数可以推知，

f（x）在[－2,2]上递增，

又f（x－4）＝－f（x）⇒f（x－8）＝－f（x－4）＝f（x），

故函数f（x）以8为周期，

f（－25）＝f（－1），f（11）＝f（3）＝－f（3－4）＝f

（1），

f（80）＝f（0），故f（－25）

忽视定义域致误

典例：

（10分）

（1）若函数f（x）＝

在定义域上为奇函数，则实数k＝________.

（2）已知函数f（x）＝

则满足不等式f（1－x2）>f（2x）的x的取值范围是________．

易错分析　

（1）解题中忽视函数f（x）的定义域，直接通过计算f（0）＝0得k＝1.

（2）本题易出现以下错误

由f（1－x2）>f（2x）得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误．

解析　

（1）∵f（－x）＝

＝

，

∴f（－x）＋f（x）＝

＝

.

由f（－x）＋f（x）＝0可得k2＝1，∴k＝±1.

（2）画出f（x）＝

的图象，

由图象可知，若f（1－x2）>f（2x），

则

即

得x∈（－1，

－1）．

答案　

（1）±1　

（2）（－1，

－1）

温馨提醒　

（1）已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．

（2）解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：

①抓住对变量所在区间的讨论．

②保证各段上同增（减）时，要注意左、右段端点值间的大小关系．

③弄清最终结果取并还是交．

方法与技巧

1．正