23函数的奇偶性与周期性.docx

1、23函数的奇偶性与周期性2.3函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1

2、判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数 ()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称 ()(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称 ()(4)若函数f(x)为奇函数，则a2. ()(5)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 014)0. ()2(2013山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于()A2 B0 C1 D2答案A解析

3、f(1)f(1)(11)2.3已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是 ()A B. C. D答案B解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 015)等于 ()A2 B2 C98 D98答案A解析f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 015)f(50343)f(3)f(1)又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2122，即f(2 015)2.5设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_

4、答案(1,0)(1，)解析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为(1,0)(1，).题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1)；(3)f(x).思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立解(1)由，得x3.f(x)的定义域为3,3，关于原点对称又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由，得10时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时

5、，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数题型二函数周期性的应用例2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 015)等于 ()A335 B336 C1 678 D2 012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.思维启迪(1)f(x)的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的变化情况求和(2)通过题意先确定函数的周期性答案(1)B(2)2.5解析(1)利用函数的周期性和函数值的求法求解f(x6)f(x)，T6.当3x1时，

6、f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)121011.f(1)f(2)f(2 015)3351336.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.

7、5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.思维升华(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值(2)求函数周期的方法(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于()A1 B1 C2 D2(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f等于 ()A B C. D. 答案(1)A(2)A解析(1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故

8、选A.(2)f(x)是周期为2的奇函数，ffff2.题型三函数性质的综合应用例3设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调区间思维启迪可以先确定函数的周期性，求f()；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(

9、x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1 (kZ)，单调递减区间为4k1,4k3 (kZ)思维升华关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想(1)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是 ()A. B. C. D. (2)已知定义在R上的

10、奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案(1)A(2)D解析(1)偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论，有f(2x1)ff(|2x1|)f，进而转化为不等式|2x1|，解这个不等式即得x的取值范围是.(2)由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(8

11、0)f(0)，故f(25)f(80)f(2x)的x的取值范围是_易错分析(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.(2)本题易出现以下错误由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽视了1x20导致解答失误解析(1)f(x)，f(x)f(x).由f(x)f(x)0可得k21，k1.(2) 画出f(x)的图象，由图象可知，若f(1x2)f(2x)，则即得x(1，1)答案(1)1(2)(1，1)温馨提醒(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：抓住对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系弄清最终结果取并还是交方法与技巧1正