河南省洛阳市届高三第三次统一考试数学试题文及答案Word文档格式.docx
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A.1B.3C，5D.7
8.定义表示不超过的最大整数，例如，，.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.则输出（）
A.9B.16C.23D.30
9.下列叙述中正确的个数是（）
①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②命题，，命题，，则为真命题；
③“”是“的必要而不充分条件；
④将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
A.1B，2C.3D，4
10.函数的单调递减区间是（）
A．B．
C.D．
11.已知函数满足条件：
对于，且，存在唯一的且，使得.当成立时，（）
A．B．C.D．
12.已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则．
14.关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是．
15.在正三棱锥中，，是的中点，，则正三棱锥外接球的表面积为．
16.在中，是的中点，与互为余角，，，则的值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设正项数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.
18.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?
”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是：
选择家的占、选择朋友聚集的地方的占、选择个人空间的占.上海高中生答题情况是：
选择朋友聚集的地方的占、选择家的占、选择个人空间的占.
（1）请根据以上调查结果将下面列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：
在家里最幸福
在其它场所最幸福
合计
洛阳高中生
上海高中生
（2）从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.
附：
，其中d.
19.如图，三棱柱中，平面，，是的中点，.
（1）求证：
平面平面；
（2）求点到平面的距离.
20.已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；
若不过定点，请说明理由.
21.已知函数，其中.
（1）函数的图象能否与轴相切?
若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（2）讨论函数的单调性.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）若曲线为曲线关于直线的对称曲线，点，分别为曲线、曲线上的动点，点坐标为，求的最小值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，，使得和互为相反数，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5：
DCCBA6-10：
ADCBB11、12：
AD
二、填空题
13.1014.15.16.或
三、解答题
17.解：
（1）①时，由，得，
②时，由已知，得，∴，
两式作差，得，
又因为是正项数列，所以.
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴.
（2）∵，
∴
.
又因为数列是递增数列，当时最小，，
18.解：
（1）由已知得，
22
33
55
9
36
45
31
69
100
∴，
∴有的把握认为“恋家”与城市有关.
（2）用分层抽样的方法抽出4人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为；
∵，
设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件，
，∴，
则所求的概率为.
19.
（1）由面，平面，则.
∵，是的中点，∴.
又，∴平面
又平面，∴平面平面.
（2）设点到平面的距离为，
由题意可知，
，
由
（1）可知平面，
得，
∴点到平面的距离.
20.解：
（1）由题意知，
设，则的中点为，
因为，由抛物线的定义知：
，
解得或（舍去），
由，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由
（1）知，设，，
因为，则，
由得，故，
故直线的斜率为，
因为直线和直线平行，
故可设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
由题意知，得.
设，则，，
当时，，
可得直线的方程为，
由，整理可得，
所以直线恒过点，
当时，直线的方程为，过点，
所以直线恒过定点.
21.解：
（1）由于.
假设函数的图象与轴相切于点，
则有，即.
显然，将代入方程中，
得.显然此方程无解.
故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.
（2）由于，
当时，，当时，，递增，
当时，，递减；
当时，由得或，
①当时，，
当时，，递增，
当时，，递减，
当，，递增；
②当时，，递增；
③当时，，
当时，，递增.
综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是增函数；
当时，在上是增函数，在上是减函数.
22.解：
（1）∵，∴，
即，∴直线的直角坐标方程为；
∵，∴曲线的普通方程为.
（2）∵点在直线上，根据对称性，的最小值与的最小值相等.
曲线是以为圆心，半径的圆.
∴.所以的最小值为.
23.解：
（1）∵，
当时，解得，此时无解.
当时，，解得，即.
当时，，解得，即，综上，的解集为.
（2）因为存在，，使得成立.所以.
又，
由
（1）可知，则.
所以，解得.
故的取值范围为.
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