抽屉原理在高中数学竞赛中的应用Word文档下载推荐.docx
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有限形式的抽屉原理与无限形式的抽屉原理.
（1）抽屉原理1
抽屉原理1（有限形式）[2]设
和
都是任意的正整数，若至少有
只鸽子分配在
个鸽巢，则至少存在一个鸽巢中有至少
只鸽子.
证明用反证法.如果每个鸽巢中，至多有
只鸽子，那么放入
个鸽巢中的鸽子的总数至多为
只，
，这与已知至少有
只鸽子相矛盾，故必有一个鸽巢内的鸽子数不少于
只.
推论1[2]
只鸽子，
个巢，则至少有个有一个鸽巢里不少于
只鸽子。
其中
为高斯函数.
证明用反证法.如果每个鸽巢至多有
个鸽巢中的鸽子的总数至多为n
n
，这与共有
个矛盾，故必有一个鸽巢内的鸽子数不少于
推论2[3]若取
个球放进
个盒子，则至少有1个盒子有
个球.
推论3[3]若
是
个正整数，而且
，则
中至少有1个数不小于
.
证明用反证法。
如果
，
那么
这与已知
相矛盾，故
中至少有
个数不小于
推论4[4]把
个元素划分成
个集合，则必有一个集合中元素的个数
，也必有一个集合中元素的个数
证明用反证法.
如果集合中的元素个数
，那么
个集合中总的元素的个数
，这与题目已知共有
个元素相矛盾，故必有一个集合中元素的个数
；
个元素相矛盾，故必有一个集合中的元素的个数
综上可得，必有一个集合中元素的个数
，也必有一个集合中的元素的个数
推论5[4]设
只鸽子，有标号分别为
的鸽巢，则存在至少一个标号为
的鸽巢中至少有
证明若对所有的
，使得第
个鸽巢中至多有
只鸽子，则
个鸽巢中至多有：
个物品，与题设有
相矛盾，故定理成立.
（2）抽屉原理2
抽屉原理2（无限形式）[2]无穷多个球放到有限多只抽屉中，一定有一直抽屉放进了无穷多个球.
证明反证法.假设不存在放进无穷多个球的抽屉，即每个抽屉都放进了有限多个球，又一直抽屉是有限多个，则球数也为有限多个。
与已知相矛盾.
在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题：
例如“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们同一天过生日”；
“把
内的全部有理数放到200个集合中，一定存在一个集合，它里边有无限多个有理数”，这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”.在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来.这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据理论也不复杂，用抽屉原理往往是解决这类问题的一种有效途径.下面就抽屉原理在往届的数学竞赛中出现的相关例题，把它分为五个方面，通过对题目的分析、解答来体会抽屉原理的应用.
下面主要讲解抽屉原理在高中数学竞赛中五种问题的运用，其中包括：
整除问题、面积问题、染色问题、六人集会问题以及生日问题.
.1整除问题
例1任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除.
证明任意给一个整数，它被3整除，余数可能为0,1,2，我们把被3除余数为0,1,2的整数各归入类
。
至少有一类包含所给5个数中的至少两个.因此可能出现两种情况：
1.某一类至少包含三个数；
2.某两类各含两个数，第三类包含一个数.
若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三个数，其和一定能被3整除；
若是第二种情况，在三类各取一个数，其和也能被3整除.
综上所述，原命题成立.
例2[1]在任意给出的
个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除.
分析本题也似乎是茫无头绪，无从下手，其关键何在？
仔细审题，它们的“和”能“被100整除”应是做文章的地方.如果把这100个数排成一个数列，用
记其前
项的和，则其可构造
共100个"
和"
数.讨论这些“和数”被100除所得的余数.注意到
共有100个数，一个数被100除所得的余数有
共100种可能性。
“苹果”数与“抽屉”数一样多，如何排除“故障”？
证明设已知的整数为
考察数列
.的前
项和构成的数列
.
中有某个数可被100整除，则命题得证.否则，即
均不能被100整除，这样，它们被100除后余数必是
中的元素.由抽屉原理I知，
中必有两个数，它们被100除后具有相同的余数.不妨设这两个数为
，即
.命题得证.
说明有时候直接对所给对象作某种划分，是很难构造出恰当的抽屉的.这时候，我们需要对所给对象先作一些变换，然后对变换得到的对象进行分类，就可以构造出恰当的抽屉.本题直接对
进行分类是很难奏效的.但由
构造出
后，再对
进行分类就容易得多.
另外，对
按模100的剩余类划分时，只能分成100个集合，而
只有100项，似乎不能应用抽屉原则.但注意到余数为0的类恰使结论成立，于是通过分别情况讨论后，就可去掉余数为0的类，从而转化为100个数分配在剩下的99个类中.
最后，本例的结论及证明可以推广到一般情形（而且有加强的环节）：
在任意给定的
个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被
整除，而且，在任意给定的排定顺序的
个整数中，都可以找出若干个连续的项（可以是一项），它们的和可被
整除.
2面积问题
例1[5]边长为1的正方形中，任意放入
个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过
．
解将边长为1的正方形等分成边长为
的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，据形式2，必有三点落入同一个正方形内．现特别取出这个正方形来加以讨论．
把落在这个正方形中的三点记为
、
．通过这三点中的任意一点（如E）作平行线，
由图1可知
S△DEF＝S△DEG＋S△EFG
例2[6]在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：
存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过
（1963年北京市数学竞赛题）.
解如图2，四等分正方形，得到
四个矩形.在正方形内任意放入九个点，则至少有一个矩形
内存在
个或3个以上的点，设
三点为
，具体考察
（如图3所示），过
三点分别作矩形长边的平行线，过
点的平行线交
于
点，
点到矩形长边的距离为
，则△ABC的面积
说明把正方形分成四个区域，可以得出“至少有一个区域内有3个点”的结论，这就为确定三角形面积的取值范围打下了基础.本题构造“抽屉”的办法不是唯一的，还可以将正方形等分成边长为
的四个小正方形等.但是如将正方形等分成四个全等的小三角形却是不可行的（想一想为什么？
）.所以适当地构造“抽屉”，正是应用抽屉原则解决问题的关键所在.
3染色问题
例1[7]把1到10的自然数摆成一个圆圈，证明一定存在三个相邻的数，它们的和数大于17.
证明设
分别代表不超过10的十个自然数，它们围成一个圈，它们三个相邻的数的组成是
共十组，现在把他们看成是十个抽屉，每个抽屉的物体数是
由于
根据推论2，至少有一个括号内的三数和不少于17，即至少有三个相邻的数的和不少于17.
例2[6]（1995年全国高中数学联赛试题）将平面上每个点以红蓝两色之一着色，证明：
存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色.
证明如图4，作两个半径分别为1和1995的同心圆.
在内圆上任取9个点，必有5点同色，记为
.连半径
交大圆于
，对
必有3点同色，记为
则△
与△
为三项点同色的位似三角形，位似比等于1995，满足题设条件.
说明这里连续用了两次抽屉原理（以染色作抽屉）.也可以一开始就取位似比为1995的9个位似点组
，对4个抽屉（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝）应用抽屉原理，得出必有3个位似点属于同一抽屉，从题目的证明过程中可以看出，位似比1995可以改换成另外一个任意的正整数、正实数.当然，不用同心圆也可证得，如在平面上取任三点都不共线的9点，由抽屉原理必有5点同色，设为
、E；
以
为位似中心（如图5），以1995为位似比作
的位似形
，则5点
中必有3点同色，设为
，则即为所求.
更一般地可以证明，在这个二染色的平面上存在无数个内角为
的直角三角形三顶点同色：
任取
，以
为边作等边三角形，则必有两点同色，记为
同红色，以
为直径作一圆，再作圆内接正六边形
（如图6），当
中有红点时△
即为所求；
当
中无红点即
全为蓝色时，
△
即为所求。
再由
的任意性知，这样的三角形有无数个.
更进一步还可得到：
对任何
，可得到两个相似比为
的顶点同色的相似三角形.对于多染色的情形，还可以得出多个相似三角形的结论：
用红、黄、蓝三种颜色对平面上的点染色，对任意的
，必存在三个三角形，它们彼此相似，相似比为
，且每个三角形的三顶点同色.
4六人集会问题
例1任意六个人中至少存在三个人或是互相认识，或者是互相不认识.
证明在这六个人中任意取定一个人
，则其余五个人可以分为两类：
{与
认识的人}，
={与
不认识的人}.根据抽屉原理，
至少有1个集合有3个人.不妨设此集合为
，且对于集合
中的3个人
来说，若他们彼此不认识，则问题已得证明，否则有两个人互相认识，不妨设这两个人是
三个人互相认识.
若集合
中至少有三个人，用同样的方法也可得到证明.
例2[8]（第6届国际中学生数学奥林匹克试题）17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家
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