百校联盟届高三TOP20四月联考全国II卷数学理试题Word版附详细答案Word文档格式.docx

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的渐近线交于

两点，若

，则双曲线

的渐近线方程为（）

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

8.已知

，则不等式

的解集为（）

9.已知数列

中，

A．1028B．1026C.1024D．1022

10.已知

，若存在点

，使得

的取值范围为（）

11.已知函数

，则函数

在

上的所有零点之和为（）

12.在三棱锥

，平面

和平面

所成角为

，则三棱锥

外接球的体积为（）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知函数

则

．

14.已知

的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含

项的系数为．（用数字

作答）.

15.抛物线

的焦点为

，其准线为直线

，过点

作直线

的垂线，垂足为

的角平分线所在的直线斜率是．

16.已知

的内角

的对边分别为

的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列

的前

项和

满足

，且

是

的等差中项，

是等差数列，

.

（1）求数列

的通项公式；

（2）

，求数列

18.如图所示，在三棱台

和

均为等边三角形，四边形

为直角梯形，

平面

，

分别为

的中点.

（1）求证:

；

（2）求二面角

的余弦值.

19.某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了40件产品作为样本，检测某一项质量指标值

，得到如图所示的频率分布直方图，若

，亦则该产品为示合格产品，若

，则该产品为二等品，若

，则该产品为一等品.

（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；

（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；

（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值

的产品中随机选出3件，记

为指标值

中的件数，求

的分布列和数学期望•

20.已知

为圆

上一动点，圆心

关于

轴的对称点为

，点

分别是线段

上的点，且

（1）求点

的轨迹方程；

（2）直线

与点

的轨迹

只有一个公共点

，且点

在第二象限，过坐标原点

且与

垂直的直线

与圆

相交于

两点，求

面积的取值范围.

21.已知函数

的导函数为

，其中

为自然对数的底数.

（1）求函数

的最大值；

（2）证明：

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系中，曲线

的参数方程为

（

为参数），直线

，直线

，以原点

为极点，

轴正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.

（1）写出曲线

和直线

的极坐标方程；

（2）若直线

与曲线

两点，直线

两点，求线段

的长度.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若关于

的不等式

恒成立，求

的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:

ACDCB6-10:

BDBDC11、12：

CA

二、填空题

13.014.

15.

16.

三、解答题

17.

（1）由题意知，当

时，

又因为

所以

又

成等差数列，

，所以

，解得

所以数列

是以1为首项，3为公比的等比数列，故

设

的公差为

，

解得

（2）由

（1）得

两式相减得

整理得

18.

（1）取

的中点

，连接

因为

因为三棱台

，所以平面

，因为

（2）取

为正方形，所以

两两互相垂直，分别以

为

轴建立空间直角坐标系，

由

，得

设平面

的一个法向量为

得

令

得

由图观察可知，平面

与平面

所成二面角为钝角，所以其余弦值为

19.

（1）由频率分布直方图可知，甲生产线中二等品的概率为

—等品的概率为

乙生产线中二等品的概率为

一等品的概率为

所以两件产品中一件为二等品，一件为一等品的概率为

（2）设两条生产线样本的平均值分别为

由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.

（3）甲生产线样本质量指标值

的件数为

质量指标值

由题意可知

的取值为0，1，2，3；

的分布列为：

的数学期望

20.

（1）因为

的中点，因为

，所以点

的垂直平分线上，所以

在以

为焦点的椭圆上，

所以点

的轨迹方程为

（2）由

得，

因为直线

与椭圆

相切于点

，即

即点

的坐标为

因为点

在第二象限，所以

设直线

与

垂直交于点

是点

到直线

的距离，

的方程为

当且仅当

有最大值

即

面积的取值范围为

21.

（1）因为

，所以

，令

所以当

的最大值为0，

从而

要证

故只需证

即证

成立；

单调递增，所以当

单调递减，即

单调递减.

当

单调递增，即

单调递增，

由零点存在定理可知，

故当

或

单调递增；

单调递减，

的最小值是

，所以原不等式成立.

22.

（1）依题意，曲线

将

代入上式得，

故直线

的极坐标方程为

（2）设

两点对应的极径分别为

23.

（1）当

时，由

综上所述，

的解集为

（2）不等式

即为

即关于

恒成立，而

时等号成立，所以

的取值范围是

.