实变函数与泛函分析要点文档格式.docx
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设AuB,则AuB,Ac
T3:
(AUB)'
=ArUB‘・
3、开(闭)集性质(§
3中T1、2、3、4、5)
T1:
对任何EuRn,E是开集,E'
和召都是闭集。
(E称为开核,舌称为闭包的理由也在于此)
(开集与闭集的对偶性)设E是开集,则CE是闭集;
设E是闭集,则CE是开集。
任意多个开集之和仍是开集,有限多个开集之交仍是开集。
T4:
任意多个闭集之交仍是闭集,有限个闭集之和仍是闭集。
T5:
(Heine-Borel有限覆盖定理)设F是一个有界闭集,W是一开集族{Ui}iel它覆盖TF(即Fc:
右Ui),则虫中一定存在有限多个开集U1,U2-Um,它们同样覆盖TF(即Fu丹Ui)(iel)
4、开(闭)集类、完备集类。
开集类:
Rn,①,开区间,邻域、E.Po
闭集类:
Rn,①,闭区间,有限集,E'
、E、P完备集类:
Rn,①,闭区间、P
二、基本方法:
仁判断五种点的定义;
2、利用性质定理,判断导集、邻域等;
3、判断开集、闭集;
4、关于开闭集的证明。
第三章测度论基本要求:
1、理解外测度的概念及其有关性质。
2、掌握要测集的概念及其有关性质。
3、掌握零测度集的概念及性质。
4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集,掌握一批可测集的例子。
5、会利用本章知识计算一些集合的测度。
6、掌握“判断集合可测性”的方法,会进行有关可测集的证明。
要点归纳:
外测度:
①定义:
EuRnli(开区间)3linEm*(E)=inffIHi
2性质:
(1)0Wm*EW+8(非负)
(2)若AcB则m*B(单调性)
(3)m*((JAi)WyrrTAi(次可列可加性)
3可测集:
EcRn对任意的TER"
有:
m*(T)=m*(TAE)+m*(TACE)
称E为可测集,记为mE其性质:
1)T1:
E可测oVAcEBeCE使itT(AUB)=m*A+m*B
2)T2:
E可测oCE可测
4运算性质:
设Si、S2可测=>
SiUS2可测(T3);
设Si、S2可测=>
SiClS2可测(T4);
设Si、S2可测=>
Si-S2可测(T5)o
5Si,S2-Sn可测nUSi可测(推论3)"
Si可测(T7)
6Si、S2…Sn…可测,SiDSj=(p=>
USi可测m(USi)=Im(Si)(T6)
7Si递增,S〔uS2cS3ulim(USi)=limmSj=Ms(T8)
8Si递降可测,SidS2dS3o…当mS1<
+~=>
limm(nSi)=limmSn(T9)
9可测集类:
1)零测度集:
可数集、可列点集、Q、[0,1]CIQ.①、P零测度集的子集是有限个、可数个零测度集之并是~。
2)区间是可测集ml=lII3)开集、闭集;
4)Borel集定义,设G可表为一列开集的交集,且称G为G&
型集
如卜1,1];
设F可表为一列闭集之并,则称为F。
型集,如[0,1]
Borel集定义:
从开集出发,用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集(不超过可数次)的集合。
T6:
设E是任一可测集,存在G6集,使EcG,且m(G-E)=0
T7:
设E是任一可测集,存在G。
集,使FuE,且m(F-E)=0
可测集是存在的。
第四章可测函数基本要求:
1、掌握可测函数的概念和主要性质。
2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立(几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…)的概念。
3、掌握一批可测函数的例子。
4、掌握判断函数可测性的方法,会进行关于可测函数的证明。
5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。
6、了解依测度收敛的概念及其性质。
7、理解三种收敛之间的关系。
(―)基本概念
1可测函数:
.f是定义在可测集EuRn上的实函数,任意的aWR
E[/>
a]是可测集,称f(x)是E上的可测函数
f可测o任意的aWRE[f2a]是可测集
O任意的aERE[/va]是可测集
o任意的aWRE[/Sa]是可测集
o任意的a,BERE[a<
f<
B]是可测集(lfl<
+8)
几乎处处成立
2连续函数、简单函数
3依测度收敛、收敛、一致收敛
(二)基本结论:
可测函数的性质(8个定理)
(1)充要条件(Ti)4个等价条件
(2)集合分解Ta
(2),f在Ei之并名Ei上,且在Ei上可测=>
f在名Ei上可测
(3)(四则运算)f,g在E上可测f+g,fg,IfI,1仃在E上可测。
(4)极限运算{九}是可测函数列,则P=inf/n入g=supfn痂g
=>
F=lim/nG=ljmfn可测
(5)与简单函数的关系:
/•在E上可测nf总可以表成一列简单函数{5}的极限
函数f~n^n,而且可以办到I<
P1I<
Icp2I<
ICp3I<
»
.
2.EropOB定理:
mEv+8fn庶上a.e于-个a.e和的砒f的可测函数=>
对任意的5>
0存在子集E5CE使得fn在Ed上一致收敛
且m(E-E5)<
J
3/ly3HH定理汀是E上a.e有限可测函数,任意6>
0m闭子集EjuE使得/•在E5上连续且m(E-Ed)<
6即在E上a.e有限的可测函数是:
“基本上连续”的函数。
4可测函数类:
连续函数(T2)、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。
Lebesgue:
1)mE<
+~;
2)fnE上a.e有限的可测函数列;
3)fnE上a.e收敛于a.e有限的f
■=>
fn=>
f(x)在此mE<
+~条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛
补充定理(见复旦§
3.2T5)mEv+8,fn是E上可测函数列
fn=>
fo{fn}的(任何子列)Vfm,总可以找到
子子列(日)fnij-fa.e于E
三、基本方法:
1判函数可测
(1)集合判别法,任意的awRE[f>
a]是可测集
(2)集合分解法,E=UEiEiflEj=Of在Ei上可测
(3)函数分解法,f可表为若干函数的运算时
(4)几乎处处相等的函数具有相同的可测性(§
1,T8)
(5)可测函数类
2判断三种函数之间的关系
第五章积分论基本要求:
1、了解可测分划、大(小)和、上(下)积分、有界函数L可积和L积分的概念。
2、掌握有界函数L积分的性质。
3、理解非负函数L积分与L可积的概念。
4、理解一般函数的L积分确定、L积分与L可积的概念。
5、掌握一般函数的L积分的性质。
6、掌握L积分极限定理。
7、弄清L积分与R积分之间的关系。
8、熟练掌握计算L积分的方法。
9、会利用L积分极限定理进行有关问题的证明。
10、了解有界变差函数的概念及其主要性质。
11、了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。
Lebesgue积分
1>
Riemann积分分割、作和、取确界、求极限。
2、Lebesgue积分
定义仁E=jEi,各Ei互不相交,可测,则称{EJ为E的一个分划,记作D={Ei}
定义2:
设f是定义在EuR"
(mE<
~)上的有界函数,D={Ei}令Bi=xeEiPf(X)bi='
xgEjff(x)
大和S(D,f)=S(D,f)
小和》(D,f)=jbimEi=s(D,f)
s(D,f)<
S(D,f)
定义3:
设f是定义在EuRn(mE<
~)上的有界函数
上积分:
jEf(x)dx=inf{S(D,f)}
下积分:
!
ef(X)dx=sups(D,f)若上下积分相等,则称f在E上可积,其积分值叫做L积分值,记(L)JEf(x)dx
设f是定义在EuRq(mE<
8)上的有界函数,则f在E±
L可积<
=»
任意的£
>
0
S(D,f)・s(D,f)<
£
f在E上L可积of在E上可测(T
对有界函数而言,L可积o可测
f,g有界,在E上可测,f±
g,fg,f/g,Ifl可积
f在[a,b]上R可积=»
L可积,且值相等*
L积分的性质:
T-1
(1):
f在E上L可积,则在E的可测子集上也L可积;
反之,
E=E1UE2EGE2=(t>
Ei、E2可测,若f在Ei上L可积,则f在E上可积
JEfdx=北fdx+JE2fdx(积分的可加性)
(2)f,g在E上有界可测Je(f+g)dx=JEfdx+jEgdx
(3)任意cwRJECfdx=cJEfdx
(4)f,g在E上L可积,且fsg则Rdx纣Egdx
特别地,b<
f<
BfEfdxe[bmE,BmE]
推论1:
(1)当mE=OJEfdx=O
(2)f=cjEfdx=cmE
(5)f在E上可积,则丨fl可积,且|Jefdx|<
Je|f|dx
T-2
(1)设f在E上L可积fRJEfdx=O则f=0a.e于E
(2)彳在£
上1_可积,则对任意的可测集A属于E
使初:
I%;
Afdx=O(绝对连续性)
推2:
设f,g在E上有界可积,且仁ga.e于E
则jEfdx=J*egdx
证明思路:
E=EiUE2EGE2=(l)Ei=E[f^g]
Je(f-g)dx=Jei+北(f-g)dx=O
注:
1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E的一个零测度子集垃上无定义亦可.
2)从E中除去或添加有限个或可数个点L积分值不变
一般函数的积分
一、非负函数:
f,EueQ
二、定义:
f>
0ECEqmE<
~
[f(x加二订/Sn称[彷为(E上)截断函数
性质:
(1)V[f(x)]n有界非负,f<
n
(2)单调[f]1<
[f]2<
[f]3<
-
(3)'
丄2[f]n=f(x)
定义1:
设f为非负(于E)可测(mE<
~)
称JEfdx=JE^_L2[f]ndx(若存在含无穷大)为f在E上的L积分
当丄爰[f]ndx为有限时,称f为在E上的非负可积函数
注:
①非负可积一定存在分
②L积分'
|■►非负可积
三、一般函