实变函数与泛函分析要点文档格式.docx

1、设 Au B,则 A uB , AcT3： （AUB） =Ar U B 3、 开（闭）集性质（3中T1、2、3、4、5）T1：对任何EuRn, E是开集，E和召都是闭集。（E称为开核，舌称为闭包的理由也在 于此）（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。T5： （Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，W 是一开集族Uiiel它覆盖 T F （即Fc ：右Ui）,则 虫 中一定存在有限多个开集U1, U2-Um,它们同样覆盖 T F （即

2、Fu 丹 Ui） （iel）4、 开（闭）集类、完备集类。开集类：Rn,，开区间，邻域、E. Po闭集类：Rn,，闭区间，有限集，E、E、P 完备集类：Rn,，闭区间、P二、基本方法：仁判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、 判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。第三章测度论基本要求：1、 理解外测度的概念及其有关性质。2、 掌握要测集的概念及其有关性质。3、 掌握零测度集的概念及性质。4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。6、 掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。要点归纳：外测度：定义

3、：EuRn li （开区间）3 li nE m* （E） =inff I Hi2性质：（1）0Wm*EW+8 （非负）（2）若AcB则m*B （单调性）（3）m* （JAi） WyrrTAi （次可列可加性）3可测集：Ec Rn 对任意的 TER有：m* （T） = m* （TA E） + m* （TA CE）称E为可测集，记为mE其性质：1）T1： E 可测o V Ac E Be CE 使 itT （AUB） = m*A+ m*B2）T2： E可测oCE可测4运算性质：设Si、S2可测=SiUS2可测（T3）；设 Si、S2 可测=SiClS2 可测（T4）；设 Si、S2可测= Si-S2

4、 可测（T5）o5Si, S2-Sn可测n USi可测 （推论3） Si可测（T7）6Si、S2Sn 可测，SiD Sj=（p = USi可测 m（USi）= Im（Si）（T6）7Si 递增,Su S2c S3u lim（USi）=lim mSj=Ms（T8）8Si递降可测，SidS2dS3o当mS1limm（n Si）=lim mSn （T9）9可测集类：1）零测度集:可数集、可列点集、Q、0, 1 CIQ.、P 零测度集的子集是有限个、可数个零测度集之并是。2）区间是可测集ml=l II 3）开集、闭集；4） Borel集 定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为G&型集如卜1, 1;设

5、F可表为一列闭集之并，则称为F。型集，如0, 1Borel集定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不 超过可数次）的集合。T6：设E是任一可测集，存在G6集，使EcG,且m （G-E） =0T7：设E是任一可测集，存在G。集,使FuE,且m （F-E） =0可测集是存在的。第四章 可测函数 基本要求：1、 掌握可测函数的概念和主要性质。2、 掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、 几乎处处收敛）的概念。3、 掌握一批可测函数的例子。4、 掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。5、 理解叶果洛夫定理和鲁金定理。6、 了解依

6、测度收敛的概念及其性质。7、 理解三种收敛之间的关系。（）基本概念1可测函数：.f是定义在可测集EuRn上的实函数，任意的aWRE/ a是可测集，称f （x）是E上的可测函数f可测o任意的aWR Ef 2a是可测集O任意的aER E/ va是可测集o任意的aWR E/ Sa是可测集o 任意的 a, BER E a f B 是可测集（lflf在名Ei上可测（3） （四则运算）f,g在E上可测f+g, fg, I f I , 1仃在E上可测。（4） 极限运算九是可测函数列，则P=inf/n入g=supfn痂g= F=lim/n G= ljm fn 可测（5） 与简单函数的关系：/在E上可测n f总

7、可以表成一列简单函数5的极限函数 f n n,而且可以办到 I P1 I I cp2 I I Cp3 I 对任意的50 存在子集E5C E 使得fn在Ed上一致收敛且 m （E-E5）0 m闭子集EjuE使得/在E5 上连续且m（E-Ed）6即在E上a.e有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。 4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。Lebesgue： 1） mE fn= f（x）在此mEf ofn的（任何子列）Vfm，总可以找到子子列（日）fnij-fa.e于E三、基本方法：1判函数可测（1） 集合判别法，任意的aw R Efa是可测集（2） 集合分解法，E

8、=UEi Eifl Ej=Of在Ei上可测（3） 函数分解法，f可表为若干函数的运算时（4） 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（1, T8）（5） 可测函数类2判断三种函数之间的关系第五章 积分论 基本要求：1、 了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数L可积和L积分的概念。2、 掌握有界函数L积分的性质。3、 理解非负函数L积分与L可积的概念。4、 理解一般函数的L积分确定、L积分与L可积的概念。5、 掌握一般函数的L积分的性质。6、 掌握L积分极限定理。7、 弄清L积分与R积分之间的关系。8、 熟练掌握计算L积分的方法。9、 会利用L积分极限定理进行有关问题的证明。10、 了解有

9、界变差函数的概念及其主要性质。11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。Lebesgue 积分1 Riemann积分 分割、作和、取确界、求极限。2、Lebesgue 积分定义仁E=jEi,各Ei互不相交，可测，则称EJ为E的一个分划，记作D=Ei定义2：设f是定义在EuR （mE）上的有界函数，D=Ei 令 Bi= xeE iP f（X）bi= xgE jf f （x）大和 S （D, f） = S （D, f）小和（D, f） =jbimEi=s （D, f）s （D, f） S （D, f）定义3：设f是定义在EuRn （mE）上的有界函数上积分：jEf （x） dx=i

10、nf S （D, f） 下积分：!e f （X） dx=sup s （D, f）若上下积分相等，则称f在E上可积，其积分值 叫做L积分值，记（L） JEf （x） dx设f是定义在EuRq（mE8）上的有界函数，则f在EL可积 0S （D, f） s （D, f） Ei、E2可测，若f在Ei上L可积，则f在E上可积JEfdx=北fdx+ JE2fdx （积分的可加性）（2）f, g 在 E 上有界可测 Je （f+g） dx=J Efdx+jEgdx（3）任意 cwR J ECfdx=cJEfdx（4）f, g在E上L可积,且fsg则Rdx纣Egdx特别地，bfB fEfdx ebmE, BmE推论 1： （1）当 mE=O JEfdx=O（2） f=c jEfdx=cmE（5）f在E上可积，则丨fl可积，且| Jefdx | 0 EC Eq mEf（x加二订 /Sn称彷 为（E上）截断函数性质：（1） V f（x）n有界非负，fn（2）单调f1f2f3-（3） 丄2fn=f （x）定义1：设f为非负（于E）可测（mE）称JEfdx=JE_L2fndx （若存在含无穷大）为f在E上的L积分当丄爰fndx为有限时，称f为在E上的非负可积函数注：非负可积一定存在分L积分 | 非负可积三、一般函