常微分方程第三版复习资料Word文档格式.docx
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习题2.2
求下列方程的解
1．
y=e
（
e
=e
[-
）+c]
=ce
-
（
）是原方程的解。
2．
+3x=e
原方程可化为：
=-3x+e
所以：
x=e
e
）
=e
+c）
=ce
+
是原方程的解。
3．
=-s
s=e
）
=e
4．
，n为常数.
是原方程的解.
5．
=-
6．
=
则
=u
因此：
（*）
将
带入（*）中得：
13
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以
，
P（x）=
Q（x）=-1
由一阶线性方程的求解公式
14
两边同乘以
这是n=2时的伯努利方程。
Q（x）=
15
这是n=3时的伯努利方程。
P（y）=-2yQ（y）=
16y=
P（x）=1Q（x）=
c=1
y=
17设函数
（t）于
∞<
t<
∞上连续，
（0）存在且满足关系式
（t+s）=
（t）
（s）
试求此函数。
令t=s=0得
（0+0）=
（0）
（0）即
（0）=
故
或
（1）当
时
即
∞,
∞）
（2）当
于是
变量分离得
积分
由于
，即t=0时
1=
20.试证：
（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；
（2）若
是（2.3）的非零解，而
是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为
，其中
为任意常数.
（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.
证明：
（2.28）
（2.3）
（1）设
是（2.28）的任意两个解
（1）
（2）
（1）-
（2）得
是满足方程（2.3）
所以，命题成立。
（2）由题意得：
（3）
（4）
1）先证
是（2.28）的一个解。
得
2）现证方程（4）的任一解都可写成
的形式
设
是（2.28）的一个解
（4’）
于是（4’）-（4）得
从而
（3）设
是（2.3）的任意两个解
（5）
（6）
于是（5）
其中
为任意常数
也就是
满足方程（2.3）
（6）得
所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。
（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；
为曲线上的任一点，则过
点曲线的切线方程为
从而此切线与两坐标轴的交点坐标为
即横截距为
纵截距为
。
由题意得：
方程变形为
所以，方程的通解为
22．求解下列方程。
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。
=1.
所以此方程是恰当方程。
凑微分，
得：
.
所以此方程为恰当方程。
因此此方程是恰当方程。
对
（1）做
的积分，则
对（3）做
故此方程的通解为
4、
则此方程为恰当方程。
5.（
sin
cos
+1）dx+（
cos
sin
）dy=0
M=
+1N=
所以，
，故原方程为恰当方程
因为
dx-
dx+dx+
dy-
dy+
dy=0
d（-cos
）+d（sin
）+dx+d（-
）=0
所以，d（sin
-cos
+x-
故所求的解为sin
=C
求下列方程的解：
6．2x（y
-1）dx+
=2x
=2x
又2xy
dx-2xdx+
所以，d（y
-x
故所求的解为y
7.（e
+3y
）dx+2xydy=0
dx+3y
dx+2xydy=0
x
dx+3x
y
dx+2x
ydy=0
所以，de
（x
-2x+2）+d（x
即d[e
-2x+2）+x
]=0
故方程的解为e
8.2xydx+（x
+1）dy=0
2xydx+x
dy+dy=0
d（x
y）+dy=0
即d（x
y+y）=0
故方程的解为x
y+y=C
9、
即，
故方程的通解为
10、
方程可化为：
故方程的通解为：
即：
同时，y=0也是方程的解。
11、
12、
13、
这里
方程有积分因子
两边乘以
方程
是恰当方程
14、
15、
方程有积分因子：
为恰当方程
故通解为：
16、
17、试导出方程
具有形为
和
的积分因子的充要条件。
若方程具有
为积分因子，
是连续可导）
的充要条件是：
是
的函数，
此时，积分因子为
此时的积分因子为
18.设
及
连续,试证方程
为线性方程的充要条件是它有仅依赖于
的积分因子.
证:
必要性若该方程为线性方程,则有
此方程有积分因子
只与
有关.
充分性若该方程有只与
有关的积分因子
为恰当方程,
.于是方程可化为
即方程为一阶线性方程.
20.设函数f（u），g（u）连续、可微且f（u）
g（u）,\，试证方程yf（xy）dx+xg（xy）dy=0
有积分因子u=（xy[f（xy）-g（xy）]）
证：
在方程yf（xy）dx+xg（xy）dy=0两边同乘以u得：
uyf（xy）dx+uxg（xy）dy=0
=uf+uy
+yf
-yf
而
=ug+ux
+xg
-xg
，所以u是方程得一个积分因子
21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N（x,y）满足关系
Nf（x）-Mg（y）,其中f（x）,g（y）分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）
有积分因子u=exp（
M（x,y）dx+N（x,y）dy=0
即证
u
+M
+N
u（
）=N
-M
）=Ne
f（x）
-Me
g（y）
）=e
（Nf（x）-Mg（y））
由已知条件上式恒成立，故原命题得证。
22、求出伯努利方程的积分因子.
已知伯努利方程为：
，令
线性方程有积分因子：
，故原方程的积分因子为：
，证毕！
23、设
是方程
的积分因子，从而求得可微函数
使得
试证
也是方程
的积分因子的充要条件是
的可微函数。
若
，则
又
为
的一个积分因子。
24、设
的两个积分因子，且
常数，求证
（任意常数）是方程
的通解。
的积分因子
所以
下面只需证
的全微分沿方程恒为零
事实上：
即当
时，
是方程的解。
证毕！
习题2.4
求解下列方程
1、
于是求得方程参数形式得通解为
2、
，即
3、
于是求得方程参数形式的通解为
另外，y=0也是方程的解.
为常数
5、
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