高中数学竞赛综合训练题Word文档格式.docx

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D.4

3．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（）

A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个

4．已知S是由n（n≥3）个正整数组成的集合。

若S中存在三个不同的元素可构成三角形的三边，则称S为“三角数集”，设有连续正整数组成的集合{4，5，6，…,m},它的所有10元子集都是三角数集，则m的最大值可能是（）

A．1003B.503C.253D.103

5．若对任意的长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于λ，则λ的取值范围是（）

（A）λ>

0（B）0<

λ≤1（C）λ>

l（D）λ≥l

二、填空题

6．已知函数

满足：

对于实数

的某些值，可以找到相应正数

，使得

的定义域与值域相同，那么符合条件的实数

的个数是

7．对于一切实数

，不等式

恒成立，则

的取值范围是　　　　　　

8．将等差数列{an}：

an=4n-1中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列{bn}，则

的值为

9．在双曲线

﹣

=1的一支上不同三点，A、B（

6）、C与焦点F（0，5）的距离成等差数列，则线段AC的垂直平分线l经过的定点为.

10．数列{an}称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0，{an+1-qan}构成公比为

q的等比数列．q称为此等差比数列的差比．那么，由100以内的自然数构成等差比数列

而差比大于1时，项数最多有项．

11．已知在三棱锥S-ABC中，SC⊥CB，SA⊥AB，CB⊥AB，并且SA、SC与△ABC所在平面所成的角相等．若AC=6，S到平面ABC的距离为4，则异面直线AC与SB之间

的距离为

12．设圆

：

，直线

，点

，使得存在点

，使

（

为坐标原点）,则

的取值范围是

二、解答题

1．整数列u0，u1，u2，u3，…满足u0=l，且对于每个正整数n，有un+1un-1=kun,这里k是某个固定的正整数．如果u2000=2000，求k的所有可能的值．

2．

、

四点都在椭圆

上，

为椭圆在

轴正半轴上的焦点．已知

与

共线，

共线，且

．求四边形

的面积的最小值和最大值．

3．设集合A是由定义在

上且满足如下条件的函数

组成的集合：

①对任意

，都有

；

②存在常数

，使得对任意的

，

都有

试解答下列问题：

（Ⅰ）设

，证明：

（Ⅱ）设

如果存在

使得

那么这样的

是唯一的;

（Ⅲ）设

任取

令

证明：

给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式

高中数学竞赛训练题10.12

1．已知函数

的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．不存在

时，

（b＞0）的定义域与值域都是

当

的定义域是

≥0的解集，即为

，但由于它的值域不含负数，故必

＜0，

此时值域为

所以

，所以

有两个值0和－4。

2．如果

都是锐角三角形B．

解：

的三个内角的余弦值均大于0，则

是锐角三角形，若

是锐角三角形，由

，得

，那么，

是钝角三角形。

故选D。

3．过原点的直线

于P、Q两点，其中P点在第二象限，现将

上、下两个半平面沿

D解：

设直线方程为

.由

得

过

作

⊥

于

，连

，则

，得△

为直角三角形.

∴

∴当

（取负数）时，

，这时直线方程为

。

4．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（）

解设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面β，作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个．故选D．

5．已知S是由n（n≥3）个正整数组成的集合。

6．若对任意的长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于λ，则λ的取值范围是（）

解设长方体A的底面长、宽分别为a1,a2，长方体B的的底面长、宽分别为b1,b2，由题设可得

，即

，所以b1,b2是关于x的一元二次方程

的两个根，故△

，又因为

，所以λ≥l

故选（D）

的取值范围------------

分离参数，由函数值域构建不等式求解．

原不等式

，易求

对一切实数

恒有

的最小值为0．要使不等式恒成立，只需

，解之得所求

的取值范围为

）．

由于an+15-an=60，故若an是3或5的倍数，当且仅当an+15是3或5的倍数。

现将数轴正向分成一系列长为60的区间段：

（0，＋∞）＝（0，60]∪（60,120]∪（120，180]∪…，注意第一个区间段中含有{an}的项15个，即3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，55，59．其中属于{bn}的项8个，为：

b1=7,b2=11,b3=19,b4=23,b5=31,b6=43，b7=47，b8=59，

于是每个区间段中恰有15个{an}的项，8个{bn}的项，且有b8k+r-br=60k,k∈N,1≤r≤8．

由于2006＝8×

250＋6，而b6=43，所以

．

设A（x1,y1）、C（x2,y2），AC的中点M（x0,y0），∵A、B、C与焦点F（0，5）的距离成等差数列，由焦半径公式，得（ey1﹣a）+（ey2﹣a）=2（e×

6﹣a），解得y1+y2=12,∴y0=

=6.

又13y12﹣12x12=156，13y22﹣12x22=156，13（y1﹣y2）（y1+y2）﹣12（x1﹣x2）（x1＋x2）=0，

∴kAC=

=

x0,则AB垂直平分线l的斜率为k=﹣

∴l的方程为：

y﹣6=﹣

（x﹣x0），即y=﹣

x+

.故直线l必过定点（0，

）.

的距离为

解如图，过点S作SD⊥平面ABC，垂足为D．联结AD、CD、BD，记AC交BD于点D．由于SC⊥CB，根据三垂线定理得CD⊥BC．同理，AB⊥AD．又由CB⊥AB，得四边形ABCD为矩形．由SA、SC与△ABC所在平面所成的角相等，得AD=CD．故四边形ABCD为正方形．

过点O作OE⊥SB，垂足为E．由于SD⊥AC，AC⊥BD，得AC⊥平面SBD．

于是，AC⊥OE．从而，OE为AC与SB的公垂线．

过点D作DF⊥SB，垂足为F．则有

所以，异面直线AC与SB之间的距离为

13．

1．整数列u0，u1，u2，u3，…满足u0=l，且对于每个正整数n，有un+1un-1=kun,

这里k是某个固定的正整数．如果u2000=2000，求k的所有可能的值．

【解】记u1=u,由题设

如果u=0，那么u1=0，u2=0．

若ut-1=0，则有kut=ut+1ut-1，

从而ut=0．故对任意正整数n，un=0．

此与u2000=2000矛盾，

因此，u≠0．由题设，经计算得

由此可见，给定数列是一个周期数列，并且周期为6．

于是由2000=6×

333+2可知

u2000=u2=ku，

因此k应满足

（k.u都是正整数）

将k=u×

u5代入,得u2×

u5=2000,u2×

u5=24·

53．

u2的全部可能值为1，22，24，52，22×

52，24×

52，

从而u的全部可能值为1，2，22，5，2×

5，22×

5；

k的全部可能值为2000，1000，500，400，200，100．

如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F（0,1），故PQ的方程为

+1

将此式代入椭圆方程得（2+

）

+2

－1=0

设P、Q两点的坐标分别为（

），（

），则

从而

亦即

（1）当

≠0时，MN的斜率为－

，同上可推得

故四边形面积

令

∵

≥2

=±

1时

=2，S=

且S是以

为自变量的增函数

∴

②当

=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2

，|PQ|=

∴S=

|PQ||MN|=2

综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为

证明