PA+kPB最值探究胡不归+阿氏圆Word文件下载.docx
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分析：
本题的关键在于如何确定“k·
PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·
PB=PB·
sin∠MBN=PQ,
∴本题求“PA+k·
PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值（如图1-1-2），即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3
动态展示：
见GIF格式！
思考：
当k值大于1时，“PA+k·
PB”线段求和问题该如何转化呢？
提取系数k即可哦！
！
【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？
胡不归？
…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？
倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？
这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
（二）点P在圆上运动“阿氏圆”问题
如图所示2-1-1，⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·
OB.连接PA、PB，则当“PA+k·
PB”的值最小时，P点的位置如何确
定？
AA
BB
图2-1-1图2-1-2图2-1-3
PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB上截取OC使OC=k·
r,则可说明△BPO与△PCO相似，即k·
PB=PC。
PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kPB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
“阿氏圆”一般解题步骤：
第一步：
连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；
第二步：
计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；
第三步：
计算这两条线段长度的比OP=k；
OB
第四步：
在OB上取点C，使得OC=OP；
OPOB
第五步：
连接AC，与圆O交点即为点P．
【模型类比】
①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数
起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------
利用垂线段最短解决问题
②“阿氏圆”构造共边共角型相似
构造△PAB∽△CAP推出PA2=AB
即：
半径的平方=原有线段⨯构造线段
【典型例题】
1．（胡不归问题）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°
，M为对角线
BD（不含B点）上任意一点,则AM+1
2
1
BM的最小值为.
AD
如何将
即本题k值为1
BM转化为其他线段呢？
，必须转化为某一角的正弦值啊，
M
即转化为30°
角的正弦值。
思考到这里，不难发现，只要作MN垂直于BC，BC
则MN=1
BM，即AM+1
BM最小转化为AM+MN最小，本题得解。
详解：
如图，作AN⊥于BC垂足为N,
∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°
，
∴∠DBC=30°
1MN
即sin∠DBC==，
2BM
BNC
∴BM=MN，
11
∴AM+
BM=AM+MN，即AM+
BM的最小值为AN.
在RT△ABN中，AN=AB·
sin∠ABC=6⨯
3=33.
BM的最小值为33.
变式思考：
（1）本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？
（2）本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？
答案：
（1）63
（2）63
本题也可用“费马点”模型解决哦！
详见：
本公众号前文！
2．（阿氏圆问题）如图，点A、B在☉O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在☉O上，则2PC+PD的最小值为．分析：
如何将2PC转化为其他线段呢？
不难发现本题出现了中点，即2倍关系就出现了。
套用“阿氏圆”模型：
构造共边共角相似
E
∴连接OP,在射线OA上截取AE=6.
OP2=OC⨯OE∴△OPC∽△OEP
∴PE=2PC
∴2PC+PD=PE+PD,即P、D、E三点共线最小.
在RT△OED中，DE=
B
=16+144=410
即2PC+PD的最小值为410.
（1）本题如要求“PC+1PD”的最小值你会求吗？
（2）本题如要求“PC+3PD”的最小值你会求吗？
A
（1）210
（2）310
【变式训练】（胡不归问题）
1.
如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒.
72，42
43
2.如图，在菱形ABCD中，AB=6，
且∠ABC=150°
，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+PB+PD的最小值为.
62
【中考真题】（胡不归问题）
1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过
点A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。
若P为y轴上的一个动点，连接PD，则1PB+PD的最小值为。
2.（2014.成都）如图，已知抛物线y=83（x+2）（x-4）与x轴从左至右依次交于点
9
A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-
D（-5，33）。
3
x+43与抛物线的另一个交点为
33
设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少？
4
33，（-2,23）
课外提升：
2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不归”问题。
要好好专研哦！
（胡不归问题变式）
【变式训练】（阿氏圆问题）
1.
（1）
【问题提出】：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，CB＝4，CA＝6，
⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP＋
BP的最小值．
尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：
如图2，连接CP，在
CB上取点D，使CD＝1，则有CD=CP=1，又∵∠PCD＝∠BCP,∴△PCD∽△BCP,
CPCB2
∴PD=1
BP2
∴PD＝1
BP,∴AP＋1
BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：
AP＋
BP的最小值为．
（2）.【自主探索】：
在“问题提出”的条件不变的情况下，
3
值为．
AP＋BP的最小
（3）.【拓展延伸】：
已知扇形COD中，∠COD＝90º
，OC＝6，OA＝3，OB＝5，
点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为．
37，237，13.
2.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A，
点M坐标为（6,3），点N坐标为（8,0），点P在圆上运动，求PM+1PN的最小值
为．
3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为
上一动点，求
PC+PD的最小值为．
5，32.
【中考真题】（阿氏圆问题）
（2017·
甘肃兰州）如图，抛物线yx2
bxc与直线AB交于A
4,4
，B0,4
两点，直线AC:
y
1x6交y轴与点C，点E
是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC
于点F，交抛物线于点G.
（1）求抛物线yx2bxc的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，
当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形？
求出此时点E,H
的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求
1AMCM的最小值.
（1）y=﹣x2﹣2x+4；
（2）G（﹣2，4）；
（3）①E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②525．
写在最后：
“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·
PB”
（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·
PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离
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