高考数学理第六章 第3节 等比数列及其前n项和Word下载.docx

高考数学理第六章 第3节 等比数列及其前n项和Word下载.docx

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al＝am·

an.

（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

（3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

[常用结论与微点提醒]

1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·

an}（c≠0），{|an|}，{a

}，

也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×

”）

（1）等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.（　　）

（2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（　　）

（3）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝

.（　　）

（4）数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.（　　）

解析　

（1）在等比数列中，q≠0.

（2）若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.

（3）当a＝1时，Sn＝na.

（4）若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.

答案　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

2.（必修5P53AT1

（2）改编）已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝

，则公比q等于（　　）

A.－

B.－2C.2D.

解析　由题意知q3＝

，即q＝

答案　D

3.（2018·

湖北省七市联考）公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为（　　）

A.8B.9C.10D.11

解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，

∴m＝10.

答案　C

4.（2015·

全国Ⅰ卷）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.

解析　由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝

＝126，解得n＝6.

答案　6

5.（2017·

北京卷）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则

＝________.

解析　{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·

q3＝－q3，∴q＝－2，

∴b2＝b1·

q＝2，则

＝1.

答案　1

考点一　等比数列基本量的运算

【例1】

（1）（2017·

全国Ⅲ卷）设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

（2）（2017·

江苏卷）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝

，S6＝

，则a8＝________.

解析　

（1）由{an}为等比数列，设公比为q.

由

得

显然q≠1，a1≠0，

得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，

所以a4＝a1q3＝1×

（－2）3＝－8.

（2）设数列{an}首项为a1，公比为q（q≠1），

则

解得

所以a8＝a1q7＝

×

27＝32.

答案　

（1）－8　

（2）32

规律方法　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；

当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝

【训练1】

（1）（2018·

武昌调研）设公比为q（q>

0）的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝（　　）

A.－2B.－1

C.

D.

（2）（2016·

全国Ⅰ卷）设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.

解析　

（1）由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1（舍）或q＝

，将q＝

代入S2＝3a2＋2，得a1＋

a1＝3×

a1＋2，解得a1＝－1，故选B.

（2）设等比数列{an}的公比为q，

∴

⇒

∴a1a2…an＝a

q1＋2＋…＋（n－1）＝2－

＋

记t＝－

＝－

（n2－7n），结合n∈N*，可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数.所以a1a2…an的最大值为64.

答案　

（1）B　

（2）64

考点二　等比数列的性质及应用

【例2】

（1）（必修5P68BT1

（1））等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（　　）

A.12B.10C.8D.2＋log35

（2）（2018·

云南11校调研）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝（　　）

A.40B.60C.32D.50

解析　

（1）由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3（a1a2…a10）＝log3（a5a6）5＝10.

（2）数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.

答案　

（1）B　

（2）B

规律方法　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·

an＝ap·

aq”，可以减少运算量，提高解题速度.

2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.

【训练2】

（1）（2018·

西安八校联考）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·

a6·

a11＝－3

，b1＋b6＋b11＝7π，则tan

的值是（　　）

B.－1C.－

D.

（2）（一题多解）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若

＝3，则

解析　

（1）依题意得，a

＝（－

）3，a6＝－

，3b6＝7π，b6＝

，

，故tan

＝tan

＝－tan

（2）法一　由等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，

，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴

法二　因为{an}为等比数列，由

＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以

答案　

（1）A　

（2）

考点三　等比数列的判定与证明

【例3】（2016·

全国Ⅲ卷）已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝

，求λ.

（1）证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝

，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，

得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1（λ－1）＝λan，

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以

因此{an}是首项为

，公比为

的等比数列，

于是an＝

（2）解　由

（1）得Sn＝1－

由S5＝

，得1－

，即

解得λ＝－1.

规律方法　证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；

若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

【训练3】（2017·

安徽江南十校联考）已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

（1）证明：

{Sn－n＋2}为等比数列；

（2）求数列{Sn}的前n项和Tn.

（1）证明　因为an＝Sn－Sn－1（n≥2），

所以Sn－2（Sn－Sn－1）＝n－4（n≥2），

则Sn＝2Sn－1－n＋4（n≥2），

所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－（n－1）＋2]（n≥2），

又由题意知a1－2a1＝－3，

所以a1＝3，则S1－1＋2＝4，

所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2等比数列.

（2）解　由

（1）知Sn－n＋2＝2n＋1，

所以Sn＝2n＋1＋n－2，

于是Tn＝（22＋23＋…＋2n＋1）＋（1＋2＋…＋n）－2n

－2n＝

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么（　　）

A.{an＋bn}，{an·

bn}都一定是等比数列

B.{an＋bn}一定是等比数列，但{an·

bn}不一定是等比数列

C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·

bn}一定是等比数列

D.{an＋bn}，{an·

bn}都不一定是等比数列

解析　两个等比数列的积仍是一个等比数列.

2.（2018·

太原模拟）在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝

，则a1＝（　　）

A.2B.4C.

D.2

解析　在等比数列{an}中，a2a4＝a

＝1，又a2＋a4＝

，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝

，所以q2＝

，所以q＝

，a1＝

＝4.

答案　B

3.（2017·

全国Ⅱ卷）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

解析　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7＝381，公比q＝2.∴

＝381，解得a1＝3.

4.设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于