高考数学理第六章 第3节 等比数列及其前n项和Word下载.docx

1、alaman.（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.（3）当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为qn.常用结论与微点提醒1.若数列an为等比数列，则数列can（c0），|an|，a，也是等比数列.2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.思考辨析（在括号内打“”或“”）（1）等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.（）（2）三个数a，b

2、，c成等比数列的充要条件是b2ac.（）（3）数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.（）（4）数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.（）解析（1）在等比数列中，q0.（2）若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.（3）当a1时，Snna.（4）若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列.答案（1）（2）（3）（4）2.（必修5P53AT1（2）改编）已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于（）A. B.2 C.2 D. 解析由题意知q3，即q答案D3.（2018湖北省七市联考）公比不为1的等比数列an满足a5a6a

3、4a718，若a1am9，则m的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11解析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.答案C4.（2015全国卷）在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.解析由an12an，知数列an是以a12为首项，公比q2的等比数列，由Sn126，解得n6.答案65.（2017北京卷）若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析an为等差数列，a11，a48a13d13d，d3，a2a1d132.bn为等比数列，b11，b48b1q3q3，q2，b2b1q2，则1.答案1考点一等比数列基

4、本量的运算【例1】 （1）（2017全国卷）设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.（2）（2017江苏卷）等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_.解析（1）由an为等比数列，设公比为q.由得显然q1，a10，得1q3，即q2，代入式可得a11，所以a4a1q31（2）38.（2）设数列an首项为a1，公比为q（q1），则解得所以a8a1q72732.答案（1）8（2）32规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公

5、式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn【训练1】 （1）（2018武昌调研）设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则a1（）A.2 B.1C. D. （2）（2016全国卷）设等比数列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.解析（1）由S23a22，S43a42得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1（舍）或q，将q代入S23a22，得a1a13a12，解得a11，故选B.（2）设等比数列an的公比为q，a1a2anaq12（n1）2记t（n27n），结合nN*，可知n3或

6、4时，t有最大值6.又y2t为增函数.所以a1a2an的最大值为64.答案（1）B（2）64考点二等比数列的性质及应用【例2】 （1）（必修5P68BT1（1）等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10（）A.12 B.10 C.8 D.2log35（2）（2018云南11校调研）已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12（）A.40 B.60 C.32 D.50解析（1）由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3（a1a2a10）log3（a5a6）51

7、0.（2）数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9S6a7a8a916，S12S9a10a11a1232，因此S1248163260.答案（1）B（2）B规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】 （1）（2018西安八校联考）已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，

8、b1b6b117，则tan的值是（） B.1 C. D. （2）（一题多解）设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则解析（1）依题意得，a（）3，a6，3b67，b6，故tantantan（2）法一由等比数列的性质S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，由已知得S63S3，即S9S64S3，S97S3，法二因为an为等比数列，由3，设S63a，S3a，所以S3，S6S3，S9S6为等比数列，即a，2a，S9S6成等比数列，所以S9S64a，解得S97a，所以答案（1）A（2） 考点三等比数列的判定与证明【例3】 （2016全国卷）已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.（1）证明an是等比数列

9、，并求其通项公式；（2）若S5，求.（1）证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1（1）an，由a10，0得an0，所以因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an（2）解由（1）得Sn1由S5，得1，即解得1.规律方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】 （2017安徽江南十校联考）已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.（1）证明：Snn2为等比数列；（2）求数列Sn的前n项和Tn.（1）证

10、明因为anSnSn1（n2），所以Sn2（SnSn1）n4（n2），则Sn2Sn1n4（n2），所以Snn22Sn1（n1）2（n2），又由题意知a12a13，所以a13，则S1124，所以Snn2是首项为4，公比为2等比数列.（2）解由（1）知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn（22232n1）（12n）2n2n基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.已知an，bn都是等比数列，那么（）A.anbn，anbn都一定是等比数列B.anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列C.anbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列D.anbn，anbn都不一定是等比数列解析

11、两个等比数列的积仍是一个等比数列.2.（2018太原模拟）在单调递减的等比数列an中，若a31，a2a4，则a1（）A.2 B.4 C. D.2解析在等比数列an中，a2a4a1，又a2a4，数列an为递减数列，所以a22，a4，所以q2，所以q，a14.答案B3.（2017全国卷）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7381，公比q2.381，解得a13.4.设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于