春季学期新版新人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》专项训练含答案Word文档格式.docx
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5．若α为锐角，且cosα＝
，则sin（90°
－α）＝（ ）
B.
6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°
＝1，则α＝______．
巧设参数
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°
，若sinA＝
，则tanB的值为（ ）
8．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c满足b2＝（c＋a）（c－a）．若5b－4c＝0，求sinA＋sinB的值．
利用等角来替换
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sinB的值．
（第9题）
专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用
1．同角三角函数关系：
sin2α＋cos2α＝1，tanα＝
.
2．互余两角的三角函数关系：
sinα＝cos（90°
－α），cosα＝sin（90°
－α），tanα·
tan（90°
－α）＝1.
同角间的三角函数的应用
1．已知
＝4，求
的值．
2．若α为锐角，sinα－cosα＝
，求sinα＋cosα的值．
余角间的三角函数的应用
3．若45°
－α和45°
＋α均为锐角，则下列关系式正确的是（ ）
A．sin（45°
－α）＝sin（45°
＋α）
B．sin2（45°
－α）＋cos2（45°
＋α）＝1
C．sin2（45°
－α）＋sin2（45°
D．cos2（45°
4．计算tan1°
·
tan2°
tan3°
…·
tan88°
tan89°
同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用
5．已知sinα·
cosα＝
（α为锐角），求一个一元二次方程，使其两根分别为sinα和cosα.
6．已知α为锐角且sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求
专训3 用三角函数解与圆有关问题
用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；
一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视．
一、选择题
1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB＝（ ）
2．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝
，BC＝4，则AC的长为（ ）
C．3D.
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝
.⊙O过B，C两点，且⊙O半径r＝
，则OA的长为（ ）
A．3或5B．5C．4或5D．4
4．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°
.下列四个结论：
（第4题）
①OA⊥BC；
②BC＝6
cm；
③sin∠AOB＝
；
④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.
（第5题）
（第6题）
6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝________.
7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点（不与A，B重合），则cosC的值为________．
（第7题）
（第8题）
8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE＝________.
三、解答题
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°
，AC＝
，tanB＝
，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到.
（1）求证：
AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°
，AT＝AB.
AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．
（第10题）
11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
DC＝DE；
（2）若tan∠CAB＝
，AB＝3，求BD的长．
（第11题）
12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．
（第12题）
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝
求证：
CB是⊙O的切线．
（第13题）
答案
1．C
2．解：
∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝
∵tan∠BAD＝
，AD＝12，∴
＝
，∴BD＝9.
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴在Rt△ADC中，AC＝
＝13，
∴sinC＝
3．解：
（1）解方程组
得
∴点B的坐标为（1，2）．
（2）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，由
＝0，解得x＝－3，
则A（－3，0），∴OA＝3，
∴AB＝
＝2
，
∴sin∠BAC＝
即sin∠BAO＝
4．D 5.B 6.30°
7.B
8．解：
∵b2＝（c＋a）（c－a），∴b2＝c2－a2，
即c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形．
∵5b－4c＝0，∴5b＝4c，
则
，设b＝4k，c＝5k，那么a＝3k.
∴sinA＋sinB＝
＋
9．解：
∵CD是斜边AB的中线，
∴CD＝AD＝BD.
∴∠DCB＝∠B.
∵∠ACD＋∠DCB＝90°
，∠ACD＋∠CAH＝90°
∴∠DCB＝∠CAH＝∠B.
在Rt△ACH中，AH＝2CH，
∴AC＝
CH.∴sinB＝sin∠CAH＝
1．分析：
本题可利用
求解，在原式的分子、分母上同时除以cosA，把原式化为关于
的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由
＝4，得到sinA与cosA之间的数量关系，代入式子中求值．
解：
（方法1）原式＝
∵
＝4，∴原式＝
（方法2）∵
＝4，∴sinA＝4cosA.
∴原式＝
2．分析：
要求sinα＋cosα的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．
∵sinα－cosα＝
，∴（sinα－cosα）2＝
即sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝
∴1－2sinαcosα＝
，即2sinαcosα＝
∴（sinα＋cosα）2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋
又∵α为锐角，∴sinα＋cosα＞0.
∴sinα＋cosα＝
3．C 点拨：
∵（45°
－α）＋（45°
＋α）＝90°
，∴sin（45°
－α）＝cos（45°
＋α），sin2（45°
＋α）＝cos2（45°
＋α）＋sin2（45°
＋α）＝1.
4．解：
tan1°
＝（tan1°
）·
（tan2°
（tan44°
tan46°
tan45°
＝1.
点拨：
互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°
，则tanα·
tanβ＝1.
5．解：
∵sin2α＋cos2α＝1，sinα·
∴（sinα＋cosα）2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2×
∵α为锐角，∴sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝
又∵sinα·
，
∴以sinα，cosα为根的一元二次方程为x2－
＝0.
此题用到两方面的知识：
（1）公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；
（2）若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0
6．解：
∵sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，
∴由求根公式，得
sinα＝
∴sinα＝
或sinα＝3（不符合题意，舍去）．
∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－
又∵cosα＞0，∴cosα＝
∴
＝|sinα－cosα|＝
一、1.D
2．D 点拨：
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°
.又∵CD⊥AB，∴∠B＝∠ACD.∴cosB＝
，∴AB＝
.∴AC＝
3．A 4.B
二、5.
6.
7.
8.
三、
9．
（1）证明：
如图，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tanB＝
，∴BC＝2AC＝2
.∴AB＝
＝5，∴CF＝
＝2.∴AB为⊙C的切线．
（2）解：
S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝
AC·
BC－
×
2
－
＝5－π.
10．
（1）证明：
∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°
，∴∠BAT＝90°
，即AT为⊙O的切线．
如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠TAC＝∠ACD，tan∠TOA＝
＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝
x＝OA.∵AD＝AO－OD＝（
－1）x，∴tan∠TAC＝tan∠ACD＝
11．
（1）证明：
连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°
，∴∠ACO＋∠DCE＝90°
又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°
，∴∠EAD＋∠E＝90°
.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠
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