数值分析复习题 2docWord文档下载推荐.docx
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dx=arctan（N+l）-arctanN
4.近似数x*=0.0310,是—3位有数数字。
]
5•计算/=（旋-1）°
取庞小4,利用；
G+2血式计算误差最小。
四个选项:
1
（72+1）6
（3-2②,
（3+2a/2）3
99-70^2
第二、三章插值与函数逼近
习题二、三
1.给定/'
（x）=lnx的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
Lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
•0.356675
用线性插值与二次插值计算In0.54的近似值并估计误差限.
仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值，并应用误
差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
0.6-0.5
尽（別兰扌必2|（兀_0・5）0_0.6）|
In0.54«
-0.693147+二力％26丁0・693147（°
54一°
》=-0.620219
伽™）甘"
也石卜,故
|A1（x）|<
-x4x0.04x0.06=0.0048
2
二次插值时，用0.5,0.6,0.7三点,作二次Nevrton插值
In0.54^-0.620219+/[0.5,0.6,0.7]
（0.54-0.5）（0.54-0.6）=-0.620219+（-1.40850）x0.04x（-0.06）=-0.616839
g士口』氏2（兀）|兰舟峪|0-o.5）（x-0.6）0-o.7）|/'
"
W=—^3=a^jr<
0.7|—I=咲毒限引x|X|，
故
|7?
2（x）|<
|xl6x0.04x0.06x0.16<
0.001024
2.在-4WxW4上给出侧=『的等距节点函数表，若用二次插值法求
才的近似值，要使误差不超过10=函数表的步长h应取多少？
用误差估计式（5.8）,«
=2,/（x）=e\/-（x）=^
max
|（x-吗j）（x-吗）（x-心+1）|
max1/
因
21
•和1）（兀-坞）（兀-和）卜3<
106
今吗J<
x<
xi+1,h=^-心・1，舌-1=X、_h,xi+1=xi4-A
学xIO"
池0.0066
3.若/'
（x）=，+x4+3x+1,求[2°
21,-,27]^n/[2°
21,—,28]a
由均差与导数关系•心心…⑴一万少©
/（x）=x7+/+3x4-l,/m（x）=7!
/8）（x）=0
--B/[2°
21,-,27]=1x7!
=1,/[2°
21,-,28]=0十疋7!
4.若恋=叫+iO）=0一心）0一心）・・・0一心），吗。
=°
，1，…，方）互异,求
/[勺入,・・
•宀］的值,
这里pWn+1.
解;
/（或二％］（x）』（x,）=0（20,l,・・・/）,由均差对称性
/（坞）
少;
+1（召;
可知当PS有/［兀0，和…，心］=0
而当P=n+1时
/（耳+l）_1
心+1）
»
+1
介0內，・・・入+1］=乞/（坞）/曲+2（心）=
P<
n
P=n+1
2-0
于是得
工旳=纵_纵
5.求证h
只要按差分定义直接展开得
乞疋儿=£
（慟+1-軌）
J-OJ-0
=Ays-叽1+叽1_叽2+…+4_4y0
=Ay«
-Ay0
6.已知Ax）=shx的函数表
Xi
■
0.20
0.30
0.50
3
0.20134
0.30452
0.52110
求出三次Newton均差插值多项式，计算f（0.23）的近似值并用均差
的余项表达式估计误差.
根据给定函数表构造均差表
f（xj
—阶均差
二阶均差
三阶均差
0.20
1.0067
0.30
1.0318
0.08367
0.50
0.52112
1.0830
0.17067
0.17400
由式（5.14）当n=3时得Newton均差插值多项式
N3（x）=1・0067x+0.08367x（x-0・2）+0.17400x（x-0.2）（x-0.3）由此可得
f（0.23）N3（0.23）=0.23203
由余项表达式（5.15）可得
肉（0.23）|=/[x0,,x3,0.23]oj4（0.23）
由于/[[xo,xpx2,x3,0.23]]«
0.033133
|2?
3（0.23）|<
0.033133x0.23x0.03x0.07x0.27<
4.32xlO-6
7.给定f（x）=cosx的函数表
&
0.1
0.2
0.3
1.00000
0.99500
0.98007
0.95534
0.92106
0.87758
0.82534
用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估
计误差
先构造差分表
计算
cos0.04=0・04&
山=0.1,/=
=0.48
用n=4得Newton前插公式
AW）
a2z（v2/）
a3z（v7）
A4Z（V4/）
a5z（v7）
-0.00500
-0.00993
-0.01493
0.00013
-0.00980
0.00012
-0.02473
0.00025
-0・00002
-0.00955
0.00010
-0.03428
0.00035
-0.00001
-0.00920
0.00009
-0.04348
0.00044
-0.00876
-0.05224
0.85234
N4（x0=洞=九+眺•（+字绐一1）+警念一1）（』一2）+字绳一1）（』一2）（f-3）
=1.00000+0.48-0.00500-0.52]
-0.009931^/0.00013
_1.D2
误差估计由公式（5.17）得
|R4（0.048）|<
^-|z（Z-1）（/-2）（Z-3）（/-4）|ft5<
1.5845X10-7
其中M5=sin0.6|=0.565
计算cos0566时用
Newton
后插公式
x=0.566,心=0.6,Z=-=-0.34
（5.18）6h
cosO.566刖比匕6+伽）=血+咲f+^^f（f+l）+学绐+l）（f+2）+学f（Z+l））（f+2）（f+3）=0.82534—0.34x[—0.05224+0.66x（一+]66>
<
（+2.66x
I2I624））
=0.84405
误差估计由公式（5.19）得
限4（0.566）|兰匹昨+1）（/+2）（/+3）（/+4）|沪<
1.7064xW7
这里叽仍为0.565
8.求一个次数不高于四次的多项式p（x）,使它满足
p（0）=pXO）=0,p（l）=P，（l）=l,p
（2）=l
解:
这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
此处可先造
使它满足
卩；
（0）=0羽⑴"
（1）=1,显然S（x）"
（2_x）,再令
p（x）=x2（2-x）+Ax2（x-1）2
由p
（2）=1求出A=,于是
P©
=『[2--1）2]=
9.令以"
=角'
°
心称为第二类Chebyshev多项式，试求耳的
表达式,并证明©
｝是［-1,1］上带权您=2的正交多项式序列。
因為（X）=cos（«
+1）
arccosx
sin[（«
+1）arccosx]
令X=COS0
m丰n
jsK（x）Vl_[sin（«
+l）0sin（/+l）©
?
0,
丸
5
10.用最小二乘法求一个形如=的经验公式，使它拟合下列数
据，并计算均方误差.
192531
3844
19.032.3
49.0
73.3
97.8
本题给出拟合曲线卩"
+圧，即衍GAWS）"
故法方程系数
4
（例‘0o）0；
（鬲）=5
i-0
44
（血，仍）5327,@,仍）=乞讨=7277699
（0o,V）=乞”=271.4,@,尹）=乞贰”=369321.5
2-02-0
法方程为
5^+53276=271.4
5327a+72776996=369321.5
解得
a=0.9726045,6=0.0500351
最小二乘拟合曲线为八09726045+0.0500351/
均方程为
就=1恻:
-（弘^）-^1^）=0.0150321
114=01226
11.填空题
⑴满足条件P（O=l，g）=P'
（l），P⑵=2的插值多项式p（x）=（）・
（2）朝曲+5■则f[1,2,3f4]=（）,f[1,2,3,4,5]=（）.
（3）设冰】=叮,2,3,4）为互异节点，h㈤为对应的四次插值基函数，则
2＞払（0）z、工（x：
+2）W）
i・0=（）,i=（）•
⑷设｛似⑴｝:
=°
是区间[0,1]上权函数为p（x）=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中必㈤"
，则〕啊"
曲=（）,衍⑴
=（）
答:
11p（x）=（-x+l）（x-l）2
（1）/
（2）/[U3,4]=2,/[1,2,3,4,5]=0
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