湖北省天门仙桃潜江届高三上学期期末联考数学文试题Word版含答案Word格式.docx
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A.-1B.0C.1D.2
4.在北京召开的第24届国际数学家大会的会议,会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的,其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成,若直角三角形的直角边的边长分别是3和4,在绘图内随机取一点,则此点取自直角三角形部分的概率为
A.B.
C.D.
5.若双曲线的一条渐近线与圆有且只有一个公共点,则双曲线的离心率为
A.B.C.2D.4
6.已知一个空间几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:
cm),可得这个几何体的体积是
A.4cm3
B.5cm3
C.6cm3
D.7cm3
7.若实数x,y满足,则目标函数的最小值为
A.2B.0C.5D.
8.函数的图像如图所示,则
的值等于
A.B.
C.D.1
9.已知函数,则其单调增区间是
A.(0,1]B.[0,1]C.(0,+∞)D.(1,+∞)
10.某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3…,24
这24个整数中等可能随机产生.则按程序框图正确编程运行时输
出y的值为3的概率为
A.B.
11.在△ABC中,角A,B,C的边分别为a,b,c,已知,
△ABC的面积为9,且,则边长a的值为
A.3B.6C.4D.2
12.已知直线交椭圆于A,B两点,若C,D为椭圆M上的两点,四边形ACBD的对角线CD⊥AB,则四边形ACBD的面积的最大值为
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
13.已知向量,且,的夹角为,则在方向上的投影为▲.
14.已知l为曲线在A(1,2)处的切线,若l与二次曲线也相切,则▲.
15.函数的图象向左平移个单位得出函数,则▲.
16.已知A,B,C是球O球面上的三点,且AB=AC=3,,D为球面上的动点,球心O到平面ABC的距离为球半径的一半,当三棱锥D-ABC体积最大时,其高为▲.
三、解答题:
本大题分必做题和选做题,其中第17~21题为必做题,第22~23为选做题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上对应题号指定框内.
17.(本题满分12分)
已知数列的前n项和(n为正整数).
(Ⅰ)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,,求.
18.(本题满分12分)
如图1,已知直角梯形ABCD中,,AB//DC,AB⊥AD,E为CD的中点,沿AE把△DAE折起到△PAE的位置(D折后变为P),使得PB=2,如图2.
(Ⅰ)求证:
平面PAE⊥平面ABCE;
(Ⅱ)求点B到平面PCE的距离.
19.(本题满分12分)
如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(Ⅰ)求3月1日到14日空气质量指数的中位数;
(Ⅱ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?
(结论不要求证明)
20.(本题满分12分)
如图,抛物线的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)若点C的纵坐标为2,求;
(Ⅱ)若,求圆C的半径.
21.(本题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)求的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ)证明:
曲线与曲线有唯一公共点.
请考生在22,23两题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.
22.(本题满分10分)
【选修4—4坐标系与参数方程】
已知动点P、Q都在曲线上,对应参数分别为与(),M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
23.(本题满分10分)
【选修4—5不等式选讲】
已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)已知关于的不等式的解集为,求的值.
高三数学(文)试题参考答案
1—5DCBDC6—10ADCDC11—12AB
13.14.415.16.
本大题分必做题和选做题,其中第17~21题为必做题,第22~24为选做题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
把答案填在答题卡上对应题号指定框内。
17.解:
(Ⅰ)在中,令,可得,
即……………………………………………………………………1分
当时,
∴……………………………………2分
∴,即
∵,∴,即当时,
又,∴数列是首项和公差均为1的等差数列…………4分
于是,∴……………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得……………………………………7分
∴①
②
由①-②得
……………………9分
∴…………………………………………………………12分
18.解:
(Ⅰ)如图,取AE的中点O,连接PO,OB,BE.
由于在平面图形中,如题图1,连接BD,BE,易知四边形ABED为正方形,
∴在立体图形中,△PAE,△BAE为等腰直角三角形,
∴PO⊥AE,OB⊥AE,PO=OB=,
∵PB=2,∴,
∴PO⊥OB………………………………………………………………3分
又,∴平面PO⊥平面ABCE,
∵PO平面PAE,∴平面PAE⊥平面ABCD……………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,PO⊥AE,OB⊥AE,,故AE⊥平面POB.
∵PB平面POB,∴AE⊥PB,又BC//AE,∴BC⊥PB.
在Rt△PBC中,
在△PEC中,PE=CE=2,
∴………………………………9分
设点B到平面PCE的距离为d,由,
得…………………………12分
19.解:
(Ⅰ)由题意知,中位数为103.5………………………………………………4分
(Ⅱ)设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).
根据题意,,且.
设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则.
∴………………………………8分
(Ⅲ)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大……………………12分
20.解:
(Ⅰ)抛物线的准线l的方程为………………………………1分
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2)…………………………2分
∴点C到准线l的距离d=2,又,
∴……………………………………5分
(Ⅱ)设,则圆C的方程为………6分
即.
由,得.
设,则
,
由,得……………………………………9分
∴,解得,此时.
∴圆心C的坐标为,
从而,
即圆C的半径为………………………………………………12分
21.解:
(Ⅰ)的反函数为,设所求切线的斜率为k.
∵,∴,
于是在点(1,0)处的切线方程为…………………………4分
(Ⅱ)证法一:
曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数……………………………………6分
∵,∴存在零点………………………………7分
又,令,则.
当时,,∴在上单调递减;
当时,,∴在上单调递增,
∴在处有唯一的极小值………………………………10分
即在上的最小值为.
∴(当且仅当时等号成立),
∴在上是单调递增的,∴在上有唯一的零点,
故曲线与曲线有唯一公共点…………………12分
证法二:
∵,,
∴曲线与曲线公共点的个数等于曲线与的公共点的个数………………………………6分
设,则,即当时,两曲线有公共点.
又(当且仅当时等号成立),∴在上单调递减,∴与有唯一的公共点,
22.解:
(Ⅰ)依题意有…………………………2分
因此………………………………………3分
M的轨迹的参数方程为(为参数,)……5分
(Ⅱ)M点到坐标原点的距离…………7分
当时,,故M的轨迹过坐标原点………………………………10分
23.解:
(Ⅰ)当时,………………………………1分
当时,由得,解得…………2分
当时,无解……………………………………3分
当时,由得,解得……………4分
∴的解集为…………………………5分
(Ⅱ)记,则
………………………………………………7分
由,解得……………………………………9分
又已知的解集为,
∴,于是………………………………………………10分