群论初步习题Word格式文档下载.docx
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同法可知a（cb）=（ac）b=a,（ba）c=b（ac）=a,（bc）a=b（ca）=a,
（ca）b=c（ab）=a,（cb）a=c（ba）=a,
以上6个式子说明结合律对规定的乘法是成立的，
因此G对规定的乘法作成一个群.
3.证明下列四个方阵A,B,C,D对于矩阵乘法作成一个群V,写出的V乘法表.V是否循环群？
V是否交换群？
10、
0}
r-1
0、
=1
0A
A=
B=
C=
D=
01丿
一1丿，
1丿，
-1j
【证明】先写出乘法表.
A
B
C
D
由乘法表看出，集合V={A,B,C,D}对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵的乘法满足，自然对V中的矩阵也满足，而矩阵A是单位元，元素A、B、C、D的逆
元素分别是它们自身，故V对矩阵的乘法作成群.
但（A）={A},（B）={A,B},（C）={A,C},（D）={A,D},
它们都不等于V,从而V不是循环群.
由乘法表的对称性，可知群V是一个交换群.
2
.把置换表为轮换的乘积:
广12
3
4
5
67、
<
34
6
7
21」
（2）设P,Q为两个不相交的轮换，则PQ=QP.
■・m,・
i1i2
■・■■A
ikik出
J
■・・・■
i2i3
■・・■■
i1ik州
in」
【证明】
（1）（iii2…ik）二
■■■,.■.■
■
■・.・•■
-、
ikIkJ
i1
Ik卅
in
■J>
.■«
■・・■>
Qk/ik-2
ik
ik岀
In丿
kikil）二
ikik4il）（ili2ik）
其中没有相同的数字.
则PQ=（^2ik）（i「ik2ir）
=（ikA2\）（也ik）二QP•
12.3子群及其陪集
1•求出三次对称群的所有子群.
【解】S3二{
（1）,（12）,（13）,（23）,（123）,（132）},
它的平凡子群为单位元群{
（1）}及S3本身；
其2阶子群有3个，即H1={
（1）,（12）},H^{
（1）,（13）},H3二{
（1）,（23）};
三阶子群只有1个，即H4={
（1）,（123）,（132）},
S3的所有子群.
由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是
2•证明：
阶为质数的群一定是循环群.
【证明】设G群的阶为质数p，则G必含有周期大于1的元素，
不妨设为a,其周期为m>
1,
故由a生成的循环群（a）是群G的子群，其阶数为m,由拉格朗日定理知，m整除p,
但p是质数，故m=p,从而G=（a）,即G是循环群.
3•证明：
阶为质数幕pm的群中包含一个阶为p的子群.
【证明】设群G的阶为pm，因p为质数，故群G含有非单位元素a.
设a的周期为n,由拉格朗日定理的推论，知n整除pm,
r
即n=p,4_r_m.
若r=1,则循环群（a）={a,a2J||,ap=e}是G的p阶子群；
ririr1r1r
若r1，那么循环群（apr={ap—,a2p—,|||,apLpap=e}
是g的p阶子群.证完.
4.证明：
循环群的子群也是循环群.【证明】设G是循环群，h是其子群.
若G是单位元群，则显然日=6,故结论成立.
下面讨论G不是单位元群的情况.
若G=（a），其中a不是单位元，H是G的子群，但不是单位元群，
那么H中必含有m>
0的幕am.
不妨就设am是h中a的最小正幕，显然h包含am的任何乘幕.
若as是h中的任意元素，由s=tm+r,0乞rm，可知
ar=as4m=as（am）4也是h中的元素，
但m是最小正整数，而且0_r：
：
m，故r=0,
smt
于是a=（a）,
这就是说，h中的任意元素as都是am的幕，即h只含有am的任意乘幕,
所以h是由am生成的循环群，即h=（am）.
这样就证明了命题.
5.证明：
群G的一个元素a是恒等元的充分必要条件为a适合关系a2=a.
【证明】必要性是显然的.
F面只证充分性.
设群G的恒等元为e,由于aa」=a=e,在关系式a2=a两端同时乘a的逆元aJ，有a2a‘=aa"
=e
而a2aJ二a（aa'
）二ae=a,
所以a=e，即a是群G的单位元.
12.4共轭类与子群
2345
，求QPQ
3415.
【解】使用教材84—85页的方法，对置换P的上下两行分别施行置换Q,得
2.设四阶群V={e,a,b,c}的乘法表为
e
求出V的所有共轭类.
即群V有
【解】由V的乘法表看出，群V是可换群，故群V的每一个元素就是一个共轭类.四个共轭类：
{e},{a},{b},{c}.
3.证明：
指数为2的子群一定是正规子群.
【证明】设H为群G的子群，由于[G:
H]=2，则群G按子群H的左分解为
G=H+aH
按H的右分解为G=H+Ha,其中aH
因此aH=Ha，即对任意的aH，都有aHaJ=H
若aH，则aH=Ha,即卩aHaJ=H显然成立.
依正规子群的定义，H是正规子群.
交换群的每一个子群都是正规子群.
【证明】设G为交换群，H为G的子群，则对任意的aG，都有aH=Ha,
即aHa=H，所以H是正规子群.
5.求四次对称群的所有共轭类.
【解】由§
12.2的习题4,知s4的所有置换（共24个）为
（1）;
（12）,（13）,（14）,（23）,（24）,（34）;
（123）,（132）,（134）,（143）,（124）,（142）,（234）,（243）;
（1234）,（1243）,（1324）,（1342）,（1423）（1432）;
（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）.
再由教材85页的定理2,具有相同的轮换结构的置换必共轭,知S4共有5个共轭类，
即上面的每一行的置换组成一个共轭类.
12.5点群
1.证明：
点群D3含有三个共轭类.
【证明】点群D3有一个三重轴（取为z轴）及三条二重轴（与z轴垂直），其元素为
ECC2C⑴C
（2）C（3）甘占C⑴仃（yz）C
（2）疗（yz）CC（3）（yz）C2
E,C3,C3,C2,C2,C2,其中C2v,C2vC3,C2vC3,
这个群的乘法表为
E
c21）
c22）
c23）
c'
C3
广（3）
C2
c"
C21）
c2
c；
C32
cj
由教材86页例3给出的方法，可知：
22
C3,C3属于一个共轭类•这是因为C3,C3有共同的旋转轴，而变换E即保持它不变.
c21）,c22）,c23）属于另一个共轭类•因为只要作变换C3或C"
反映c21）,c22）,c23）的
对称平面即可互相转化.
而E是恒等变换，它单独成一类.
所以两面体群d3共有三个共轭类.
2.求出点群？
3h的元素和它的乘法表.
【解】把反映"
加到旋转群（C3）={E,C3,C3}上去，并用6分别乘C3,C3，即得点群
EC3
_2
C3h
C^h
c2
C^"
h
▽h
C3c；
C3^h
C3bh
C2E
C3。
◎h
ahC3CTh
C3°
C3CThC3
^hO'
h
碍
C3ah°
它的乘法表为
注意上述乘法表使用了可换性.
曰
3h={E,C3,C3,；
「h,C3；
「h}•
3•设I为以原点为对称中心的反演,
G2={E,I}是
个群.
【证明】写出G2的乘法表
则显然g2是
I
证明
1•证明：
三次对称群
12.
6同构对应和同态对应
S3与点群两面体群D3同构.
E=
（1）
其乘法表为
A=（1
2）
B=（13）
F
【证明】三次对称群S
而D3的乘法表为（上节习题1）
C=（23）,D=（1
3元素为
23）,F=（132）
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