群论初步习题Word格式文档下载.docx

1、同法可知 a（cb）= （ac）b= a, （ba）c = b（ac）= a, （bc）a= b（ca） = a,（ca）b = c（ab） = a, （cb）a = c（ba） = a,以上6个式子说明结合律对规定的乘法是成立的，因此G对规定的乘法作成一个群.3 .证明下列四个方阵A,B,C,D对于矩阵乘法作成一个群V,写出的V乘法表.V是 否循环群？ V是否交换群？1 0、0 r-10、=10 AA =,B =,C =,D =0 1丿一1丿，1丿，-1j【证明】先写出乘法表.ABCD由乘法表看出，集合V=A,B,C,D对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵 的乘法满足，自然对V中的矩阵也满足，而

2、矩阵A是单位元，元素A、B、C、D的逆元素分别是它们自身，故V对矩阵的乘法作成群.但（A） = A , （B） = A,B , （C） = A,C , （D） = A,D,它们都不等于V,从而V不是循环群.由乘法表的对称性，可知群V是一个交换群.2.把置换表为轮换的乘积:广1 23456 7、. Qk/ ik-2iki k岀In丿k i k il ）二ikik4 il ） （ili2 ik）其中没有相同的数字.则 PQ =（2 ik）（iik 2 ir）= （ik A 2 ）（也 ik）二QP 12.3子群及其陪集1求出三次对称群的所有子群.【解】S3 二（1）,（12）,（13）,（23）,

3、（123）,（132）,它的平凡子群为单位元群 （1）及S3本身；其2阶子群有3个，即 H1 =（1）,（12） , H（1）,（13） , H3 二（1）,（23）;三阶子群只有1个，即 H 4 =（1）,（123）,（132）,S3的所有子群.由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是2证明：阶为质数的群一定是循环群.【证明】设G群的阶为质数 p，则G必含有周期大于1的元素，不妨设为a,其周期为m1,故由a生成的循环群（a）是群G的子群，其阶数为 m, 由拉格朗日定理知，m整除p,但p是质数，故m= p, 从而 G=（ a）,即G是循环群.3证明：阶为质数幕 pm的群中包含

4、一个阶为 p的子群.【证明】设群G的阶为 pm，因p为质数，故群G含有非单位元素 a.设a的周期为n,由拉格朗日定理的推论，知 n整除pm ,r即 n = p, 4_r_m.若r =1,则循环群（a）= a,a2J|,ap = e是G的p阶子群；r i r i r1 r1 r若r 1，那么循环群（apr= ap,a2p,|,apLp ap=e是g的p阶子群.证完.4.证明：循环群的子群也是循环群. 【证明】设G是循环群，h是其子群.若G是单位元群，则显然日=6,故结论成立.下面讨论G不是单位元群的情况.若G=（a），其中a不是单位元，H是G的子群，但不是单位元群，那么H中必含有m0的幕am .

5、不妨就设am是h中a的最小正幕，显然h包含 am的任何乘幕.若as是h中的任意元素，由 s=tm+ r, 0乞r m，可知ar =as4m =as（am）4也是h中的元素，但m是最小正整数，而且 0 _ r ： m，故r=0,s m t于是 a =（a ）,这就是说，h中的任意元素 as都是am的幕，即h只含有am的任意乘幕,所以h是由am生成的循环群，即h=（ am ）.这样就证明了命题.5 .证明：群G的一个元素 a是恒等元的充分必要条件为 a适合关系a2 = a .【证明】必要性是显然的.F面只证充分性.设群G的恒等元为 e,由于aa=a= e , 在关系式a2 = a两端同时乘a的逆元

6、a J，有a2a =aa = e而 a2a J 二a（aa）二 ae=a ,所以 a =e，即a是群G的单位元. 12.4共轭类与子群23 4 5，求 QPQ34 15.【解】使用教材8 4 8 5页的方法，对置换P的上下两行分别施行置换Q,得2 .设四阶群V=e,a,b,c的乘法表为e求出V的所有共轭类.即群V有【解】由V的乘法表看出，群V是可换群，故群V的每一个元素就是一个共轭类. 四个共轭类：e,a, b, c.3 .证明：指数为2的子群一定是正规子群.【证明】设H为群G的子群，由于G:H=2，则群G按子群H的左分解为G=H+aH按H的右分解为 G=H+Ha, 其中a H因此 aH =

7、Ha，即对任意的 a H，都有 aHa J = H若a H，则aH = Ha, 即卩aHa J = H显然成立.依正规子群的定义，H是正规子群.交换群的每一个子群都是正规子群.【证明】设G为交换群，H为G的子群，则对任意的 a G，都有aH = Ha,即aHa = H，所以H是正规子群.5 .求四次对称群的所有共轭类.【解】由12.2的习题4,知 s4的所有置换（共24个）为（1）;（12）, （13）, （14）, （23）, （24）, （34）;（123） , （ 1 3 2 ） , （ 1 3 4 ） , （ 1 4 3 ） , （ 1 2 4 ） , （ 1 4 2 ） , （ 2

8、3 4 ） , （ 2 4 3 ）;（ 1 2 3 4 ） , （ 1 2 4 3 ） , （ 1 3 2 4 ） , （ 1 3 4 2 ） , （ 1 4 2 3 ） （ 1 4 3 2 ）;（ 1 2 ） （ 3 4 ） , （ 1 3 ） （ 2 4 ） , （ 1 4 ） （ 2 3 ）.再由教材8 5页的定理2,具有相同的轮换结构的置换必共轭,知 S4共有5个共轭类，即上面的每一行的置换组成一个共轭类. 12.5点群1.证明：点群D3含有三个共轭类.【证明】点群 D3有一个三重轴（取为 z轴）及三条二重轴（与 z轴垂直），其元素为E C C2 C C（2） C（3） 甘占 C 仃（

9、yz） C（2） 疗（yz）C C（3） （ yz）C 2E,C3,C3,C2 ,C2 ,C2 ,其中 C2 v ,C2 v C3,C2 v C3 ,这个群的乘法表为Ec21）c22）c23）cC3广（3）C2cC21）c2c；C32cj由教材8 6页例3给出的方法，可知：2 2C3,C3属于一个共轭类这是因为 C3,C3有共同的旋转轴，而变换E即保持它不变.c21）,c22）,c23）属于另一个共轭类因为只要作变换 C3或C,反映c21）,c22）,c23）的对称平面即可互相转化.而E是恒等变换，它单独成一类.所以两面体群 d 3共有三个共轭类.2 .求出点群？ 3h的元素和它的乘法表.【解

10、】把反映加到旋转群（C3） =E,C3,C3上去，并用 6分别乘C3,C3，即得点群E C3_ 2C3 hChc 2ChhC3 c；C3 hC3b hC2 EC3。hah C 3CT hC3 C3CTh C3h O h碍C3ah 它的乘法表为注意上述乘法表使用了可换性.曰3h = E , C3,C3 , ；h , C3；h 3 设I为以原点为对称中心的反演,G2 = E,I是个群.【证明】写出G2的乘法表则显然g2是I证明1证明：三次对称群 12.6 同构对应和同态对应S3与点群两面体群D3同构.E=（1）其乘法表为,A=（12）,B=（13）F【证明】三次对称群 S而D3的乘法表为（上节习题1）,C=（23） , D=（13元素为2 3） , F=（132）