平行四边形典型例题Word下载.docx
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•△A0E◎△C0F（AAS）•0F=0E
又•••AD//BC,0E丄AD,0F丄BC
•E、0、F三点共线
2•如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45。
角的平行四边形，
请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形.
FL
WI2-I-22
分析：
运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F,E,D共线.
解：
取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单.
证明：
在Rt△ABC中•/AC=BC•••/B=45°
又•••E、D分别为AC、BC的中点
•EC=DCCED=ZCDE=45°
•••/AEF=ZCED=45°
AEF+/AED=/CED+/AED=180°
•F、E、D在一条直线上I/EAF=ZC=90°
•AF//CD
又•••AF=CD=DB•四边形AFDB是平行四边形，且/B=45°
3.如图12-1-23，在口ABCD的对角线上取两点E、F,且BF=DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便.
A1）
BC
图12-1-為
可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分.
证明方法
（一）
在厶ABF和厶CDE中，AB=CD,BF=DE，/ABF=/CDE.
•△ABF◎△CDE•AF=CE
同理可证AE=CF，故四边形AECF是平行四边形
方法
（二）
连AC交BD于0
在口ABCD中，0A=OC,OB=0D
4•如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？
这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行.
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r
E
如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，
当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行.
如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形.
5.已知如图12-1-4所示，口ABCD中，AB的延长线上取一点E,使BE=AB，在CE上取一点M使CM=CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F
BD=BF
图12-1-4
由于BD,BF是厶BDF的两边，所以要证BD=BF，可由证厶BDF中/BDF=ZF入手，易知/F=ZCDM=/CMD=ZEMF，故只要证BD//CE,由此由证法一又注意到BF=BE+EF，易知BE=AB=CD=CM,EF=EM，故BF=CE,从而只要证BD=CE,由此有证法二.
证法
（一）：
•••四边形ABCD为平行四边形•••ABlTCD
又•••E点在AB延长线上，且BE=AB•AbTTcD
•四边形BECD是平行四形•BD//CEBDF=ZEMF
•••/EMF=ZCMDBDF=ZCMD
又•••CM=CDCMD=/CDMBDF=ZCDM
•/AF//CDCDM=ZF•BDF=ZF
即BD=BF
证法
（二）：
•••四边形ABCD为平行四边形•ABCD
又•••E点在AB延长线上且BE=AB•BE「「「CD
•四边形BECD是平行四边形•BD=CE,BE=CD
又•••/EMF=/CMD,CD=CM/-ZCMD=/CDM
•••/EMF=ZCDM•/BE//CD/ZF=ZEMF/•EF=EM
/•BF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD
即BF=BD
习题精选
一、填空题
1.过口ABCD勺顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F,则四边形AECF是.
2.延长△ABC的中线AD到E,使DE=AD则四边形ABEC是四边
形.
3.在四边形ABC冲ZA=50°
欲使四边形为平行四边形，则Z
B=,ZC=,ZD
4.在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是四边形.
5.如图12-1-29，在口ABCD中,E、F为ABCD的中点，连结DEEF、BF则图中共有
个平行四边形.
6.在口ABC冲连结BD作AE丄BD,CF丄BD,垂足分别为E、F,连结CEAF,点P、Q在线段BD上，且BP=DQ连结APCPAQCQMN分别交ABCD于MN连结AMCMNANC那么图中平行四边形（除□ABCD外）有个，它们
是〜
二、判断题
1.平行四边形的对边分别相等（）
2.平行四边形的对角线相等（）
5．平行四边形的对角线互相平分一组对角（6．对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（）
三、选择题
1．能判断四边形是平行四边形的条件是（）
A.—组对边平行，另一组对边相等
B.—组对边平行，一组对角相等
C.一组对边平行，一组邻角互补
D.—组对边相等，一组邻角相等
2．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（）
A.已知平行四边形的两邻边
B.已知平行四边形的两邻角
C.已知平形四边形的两对角线
D.已知平行四边形的两边及夹角
3．平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为（）
A．20和
18B．
40和50
C.60和
30D．
32和50
4•如图12-1-30所示，已知□ABCD勺对角线的交点是O,直线EF过O点且平行于BC直线GH过O且平行AB,则图中有（）个平行四边形.
A.5个B.6个C.7个D.10个
5．能判定四边形为平行四边形的是（）
A.—组对角相
等B.两条对角线互相
垂直
C.两条对角线互相平分D.一
对邻角互补
6•以下结论正确的是（）
A.对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形.
B.—边长为5,两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形.
C.一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形.
D.对角线相等的四边形是平行四边形.
7•在口ABC冲，点E、F分别在边BCAD上，如果点E,F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（）
A.AE、CF分别平分/DAB/BCD
B.AE,CF使/BEA=ZCFD
C.E、F分别是BCAD的中点
32
D.BE=5BC，AF=5AD
8.□ABCD寸角线交点为O,△OBC的周长为59cm且AD=28cm两对角线之差为14cm,则对角线长为（）
A.12cm和
9cmB.24cm和38cm
C.8.5cm和
22.5cmD.15.5cm和29.5cm
四、解答题
1.如图12-1-31所示，在□ABC冲，AE平分/BADCF平分/BCD四边形AECF是平行四边形吗？
2.如图12-1-32所示，四边形ABC冲/B=ZD,Z1=Z2,则四边形ABCD是平行四边形吗？
为什么？
3.
4.
（2）AE//CF
2.已知：
如图12-1-19，四边形ABC助平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点,且DE=BF,求证AE=CF
1.已知：
如图12-1-18，在口ABCD中,E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.
（1）AE=CF
如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CDZDBG90°
FD丄AD于D,求证四边形ABCD是平行四边形.
参考答案
一、填空题
1•平行四边形点拨：
由一组对边平行且相等，即可判断
2•平行四边形
4.130°
50°
130°
4•平行四边形点拨：
由题意可得两组对边分别平行
5.4个点拨：
□ABCD□ADFE□EFCB□EDFB
6.3个□AECF□APCQ□AMCN
二、判断题
1.V2.X点拨：
对角线不一定相等，但互相平分
3.V4.V
5.X点拨：
对角线不平分一组对角，只是自己互相平分6.V
三、选择题
1.B2.D3.A4.D5.C6.C7.B8.B
四、解答题
1.解：
点拨：
由□ABCD®
/BCD=ZBAD又AE平分/BADCF平分/BCD故/EAF=ZECF又/AF//EC,故/AEC/EAM180°
，即/AEC+ZECF=180°
，所以AE//CF,故四边形AECF是平行四边形.
2.解：
四边形ABCD1平行四边形
由/1=/2得DC//AB,所以/D+ZDAB=180，又/B=ZD,所以/DAB/B=180°
所以AD//BC,即四边形ABCD为平行四边形.
3.解：
是平行四边形
AB//CD故/ACS/CAB又/EC亠/FAB故/ACD2EC亠/CAB-/FAB即/ACE=/CAF所以CE=AFCE=AF,故AFCE是平行四边形.
4.证明：
：
BD丄AD二/BDA=90
•••/DBG90°
DC=ABD吐DB
•••△ADB^ACBD二AD=BC
•••四边形ABCD!
平行四边形
5.证明：
NE,MD互相平分
•••四边形MND为平行四边形二MNDE
又•••MD/AB,NE//AC二四边形MNBD
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