西北工业大学附属中学数学圆 几何综合检测题Word版 含答案Word文档格式.docx

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∵∠ABD=45°

∴∠ABD=∠AFE，

∵，

∴∠AEF=∠ADB，

∵AE=AD，

∴△ABD≌△AFE；

（2）∵△ABD≌△AFE，

∴BD=EF，∠EAF=∠BAD，

∴∠BAF=∠EAD=90°

∴BF==8，

设BD=x，则EF=x，DF=x﹣8，

∵BE2=EF2+BF2，＜BE≤，

∴128＜EF2+82≤208，

∴8＜EF≤12，即8＜x≤12，

则=，

∵＞0，

∴抛物线的开口向上，

又∵对称轴为直线x=4，

∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，

∴16π＜S≤40π．

点睛：

本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.

2．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；

（1）如图1，求证：

CD⊥AB；

（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：

BO平分∠ABC；

（3）如图3，在

（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．

（1）见解析；

（2）见解析；

（3）AC＝

【解析】

【分析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°

，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°

，得CD⊥AB；

（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°

得∠5+∠2=90°

，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；

（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°

可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=得AC=.

【详解】

解：

（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2

延长BO交⊙O于F，连接CF．

∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°

∴∠1+∠F＝90°

∵弧BC＝弧BC，

∴∠A＝∠F

又∵∠1＝∠2，

∴∠2+∠A＝90°

∴∠3＝90°

∴CD⊥AB

（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4

延长BO交AC于K

∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，

∴∠A＝∠5，

∵∠A+∠2＝90°

∴∠5+∠2＝90°

∴∠6＝90°

∵∠7＝180°

﹣∠3＝90°

∴∠6＝∠7，

又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2

∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，

∴BO平分∠ABC

（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN

∵OH⊥CN，OF⊥BC

∴CH＝NH，BF＝CF

∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN

∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC

∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM

∴∠OEH＝∠EHM

设EM、OE交于点P

∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°

∴∠EOH＝∠OHP

∴OP＝PH

∵∠ADC＝∠OHC＝90°

∴AD∥OH

∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP

∴PM＝PB

∴PM+PH＝PB+OP

∴HM＝OB＝5

在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4

∴BC＝8，sin∠OBC＝

∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°

∴∠AKB+∠CKB＝90°

∴OK⊥AC

AC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝

∴AC＝

【点睛】

此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．

3．如图，在△ABC中，∠C=90°

，∠CAB=30°

，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°

得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP=m．

（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）

（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；

（3）在点P，Q整个运动过程中，

①当m为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？

②直接写出点F所经过的路径长是．（结果保留根号）

（1）2+m，m﹣2;

（2）m=5.5;

（3）①当m=1或4或10﹣时，⊙O与△ABC的边相切．②点F的运动路径的长为+．

试题分析：

（1）根据题意可得AP=2+m，AQ=m−2.

（2）如图1中在Rt△EFG中,

推出所以当点E与点C重合时，PE的值最大，求出此时EP的长即可解决问题．

（3）①当（Q在往A运动）时，如图2中，设切AC于H，连接OH.

当（Q从A向B运动）时,则PQ=（2+m）−（m−2）=4，如图3中，设切AC于H.连接OH.如图4中，设切BC于N，连接ON.

分别求解即可．

②如图5中,点F的运动轨迹是F1→F2→B.分别求出即可解决问题．

（1）当时，AP=2+m，AQ=m−2.

故答案为2+m，m−2.

（2）如图1中，

在Rt△EFG中,

∴当点E与点C重合时，PE的值最大，

易知此时

∴m=5.5

则有AD=2DH=2，

∴DH=DQ=1，即m=1.

当（Q从A向B运动）时,则PQ=（2+m）−（m−2）=4，

如图3中，设切AC于H.连接OH.

则AO=2OH=4，AP=4+2=6，

∴2+m=6，

∴m=4.

如图4中，设切BC于N，连接ON.

在Rt△OBN中,

综上所述,当m=1或4或时，O与△ABC的边相切。

②如图5中,点F的运动轨迹是F1→F2→B.

易知

为定值，

∴点F的第二段的轨迹是线段

在中,

∴点F的运动路径的长为

4．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°

，tan∠ABQ=，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．

（1）直接用含t的代数式表示BQ、DF；

（2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；

（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值．

（1）BQ=5t，DF=t;

（2）;

（3）t的值为或3．

（1）AB与OD交于点H，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ的长；

根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD的长，即可表示出FD；

（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解；

（3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可.

（1），；

（2）DE=OD-OE=t+1-t=1-t，，∴当t=时，矩形DEGF的最大面积为；

（3）当矩形DEGF为正方形时，,解得.

5．如图，在中，，，，半圆的直径．点与点重合，半圆以的速度从左向右移动，在运动过程中，点、始终在所在的直线上．设运动时间为，半圆与的重叠部分的面积为．

（1）当时，设点是半圆上一点，点是线段上一点，则的最大值为_________；

的最小值为________．

（2）在平移过程中，当点与的中点重合时，求半圆与重叠部分的面积；

（3）当为何值时，半圆与的边所在的直线相切？

（1）24cm，cm；

（2）；

（3）或或

（1）当与点重合，点与点重合时，最大，此时如图①，过点作于，与半圆交于点，此时最小，，

，所以；

（2）当点与的中点重合时，如图②，点移动了，设半圆与交于点，连接、，，；

（3）当半圆与直线相切时，运动的距离为0或12，所以（秒或6（秒；

当半圆与直线相切时，如图③，连接，则，，，，移动的距离为，运动时间为（秒．

解

（1）当与点重合，点与点重合时，最大，此时

如图①，过点作于，与半圆交于点，此时最小，，

在中，

故答案为，；

（2）当点与的中点重合时，如图②，点移动了，

设半圆与交于点，连接、．

为直径，

，，

；

（3）当半圆与直线相切时，运动的距离为0或12，

（秒或6（秒；

当半圆与直线相切时，如图③，

连接，则，

移动的距离为，

运动时间为（秒，

综上所述，当为0或6或时，半圆与的边所在的直线相切．

本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.

6．如图，，分别与相切于点和点，点为弧上一点，连接并延长交于点，为弧上的一点，连接交于点，连接，且．

（2）如图2，连接，若，求证：

平分；

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接交于点，连接，，，求的长．

（3）

（1）连接、，由切线的性质可得，由四边形内角和是，得，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到，等量代换得到，由同位角相等两直线平行，得到；

（2）过点做交延长线于点，由得，从而，由切线的性质，得，由，，得，从而，进而，即可证得由此，得到，即可证得平分；

（3）连接并延长交圆于点，连接、、、、，由，，可得，由、为半径，可得，即可证出，由直径所对的圆周角是直角，可得，在中，由正弦定义可得，由此，由为正方形，对角线垂直平分，从而，.在中，.延长交于，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得.

（1）连接、

∵、与圆相切于点、，且、为半径，

∴，，

∴，

∴在四边形中，，

∴

（2）过点做交延长线于点

∵