第五章大地水准面的起伏和垂线偏差教学文稿Word下载.docx

第五章大地水准面的起伏和垂线偏差教学文稿Word下载.docx

《第五章大地水准面的起伏和垂线偏差教学文稿Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章大地水准面的起伏和垂线偏差教学文稿Word下载.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

称为

点地面天球的北极；

过

点作一条直线

，

沿着

点重力矢量

的反方向向上，它与

点的地面天球相交与

点，

点的天文天顶，

平面称为

点的天文子午面；

作一平面

，令

与格林尼治初始子午面平行，则

点的初始天文子午面。

点的天文纬度

等于北天极在

点的告诉，

点的天文经度

等于

点的地方恒星时与格林尼治地方恒星时的差；

和天文纬度

这两个天文坐标可以通过在

点的天文观测测量出来。

如图5.1.2所示，

点的第三个坐标式它的正高，它等于

点沿垂线至带地水准面的距离

，因为地球的重力等位面彼此间不平行，从水准原点

开始，通过水准测量测出

点至大地水准面的高差与水准测量的路径有关，它不等于

点的正高，即有

假若在水准测量的路径上同时进行重力测量，考虑到

根据（5.1.2）式，有

为地球在大地水准面上的重力位。

（5.1.3）式表明，通过水准路径上同时进行水准和重力测量可以测出

点的重力位与大地水准面上的重力位之间的差，因而有

根据（1.6.3）式，

点的正高为

为

、两点间的平均重力。

这样，通过水准测量和沿着水准测量路径上同时进行重力测量，根据（5.1.5）式可以求出

点的正高

。

2.大地坐标

如图5.1.3所示，选择参数合适的参考椭球，将其中心

置于地球的质心，在全球地心直角坐标系

内，令参考椭球的极轴沿着地球的旋转轴

位于赤道平面内，并令子午面

为参考椭球的初始子午面；

以这种参考椭球为基本参考架的坐标系称为大地坐标系，大地坐标系式一种全球统一的地球坐标系。

地面上任一点

的坐标由它的大地纬度、大地经度、大地高程三个大地坐标给出。

用

表示

点沿该点正常重力方向在参考椭球面上的投影，则

点的大地高程，而过

点的参考椭球面法线，即该点的正常重力方向与赤道平面的夹角

点的大地纬度，过

点的子午面

与初始子午面的夹角

点的大地经度，地面点的这三个大地坐标不能直接观测出来，它们与参考椭球的参数有关；

当参考椭球的参数选定并在地球内部定位后，地面点的大地高程、大地经度和大地纬度，可以根据可直接观测的地面点的正高、天文经度、天文纬度计算出来。

5.2扰动位，大地水准面的高度和垂线偏差

地面上某点重力矢量方向与该点正常重力方向之间的夹角称为该点的垂线偏差；

地球在空间任一点

的重力位

与正常场地球模型在该点产生的重力位

的差称为地球在该点的扰动位

，即

地球与正常场地球模型的密度分布上的差异一方面产生扰动位，另一方面使得大地水准面相对参考椭球面发生起伏，同时产生垂线偏差。

这样，扰动位、大地水准面的起伏、垂线偏差都来源于地球与正常场地球模型内部密度的分布不同。

如图5.2.1所示，根据大地高程的定义，

点的大地高程

和

点至参考椭球面的距离

的和，即

点至大地水准面的高度

与

点的扰动位有关；

事实上，大地水准面上

点的扰动位

大地水准面上的重力位

等于正常重力位

，考虑到

位于旋转椭球面上，因而有

将上式代入（5.2.3）式，有

（5.2.4）式表明，大地水准面上

实际上等于

、

两点的正常重力位的差；

至参考椭球面的距离

其中

为的正常重力，（5.2.5）式称为布隆斯（Brunes）公式。

如图5.2.2所示，由于扰动位

的存在，大地水准面上

的重力矢量

与正常重力矢量

不重合，大地水准面上

点重力矢量与正常重力矢量之间的夹角称为

点的垂线偏差

垂线偏差是一个矢量，它有偏差方向和大小。

分别表示它的南北分量和东西分量，并约定地球的重力矢量的方向在正常重力矢量方向的西南方时，即当

点的天文天顶

在它的大地天顶

东北时，出现偏差的南北分量和东西分量为正。

图5.2.3为

点的地面天球，

为它的北天极，

分别为它的天文天顶和大地天顶，则

点的垂线偏差等于

考虑到天文纬度

、大地纬度

分别等于天文天顶

和大地天顶

到天赤道的距离，并且天文经度

、大地经度

分别为

点的天文子午圈、大地子午圈与初始子午圈的缴交，根据球面三角形

，有

如图5.2.4所示，用

表示地面上

点在大地水准面上的投影，

为原点

选在

点的局部直角坐标系，

轴垂直向下沿着

点的正常重力方向，

点的大地子午圈向北，

向东；

根据扰动位的定义（5.2.1）式，

点的重力位等于正常

点的正常重力位与地球的扰动位的和，在所选定局部直角坐标系内，

点的重力矢量为

考虑到

因而有

根据垂线偏差矢量的定义（5.2.6）式以及（5.2.9）式，有

其中，

点垂线偏差的南北分量向南为正，

点垂线偏差的东西分量向西为正。

5.3混合重力异常

如图5.3.1所示，地面上任一点

的重力值可以观测出来，通过适当的换算，可以根据地面点的重力观测值计算出与其点相对应的大地水准面上点

的重力

，假定

为过

点的正常重力矢量方向，

与参考椭球面的交点，则

点的重力与

点的正常重力

之差称为

的混合重力异常

点的正常重力可以根据正常重力公式计算出来，因而原则上可以认为大地水准面上的混合重力异常式已知的。

点重力矢量方向，

点的正常重力矢量方向。

之间的夹角约为参考椭球的扁率量级，准确至参考椭球扁率量级，可以把（5.3.2）式写成：

将（5.3.3）式代入混合重力异常表达式（5.3.1）式，得

根据（4.4.9）式以及（1.6.3）式，准确至参考椭球扁率量级

为参考椭球的平均半径。

将（5.3.5）式代入（5.3.4）式，并将其写成：

（5.2.5）式、（5.2.10）式给出了大地水准面的高度、垂线偏差与扰动位的关系，所以若能根据大地水准而上的已知的混合重力异常计算出扰动位、则能根据上述二式计算出大地水准面的高度和垂线偏差。

正常场地球模型的极轴与地球的旋转轴重合，并且它们的旋转角速度也相同、因而地球的离心力位与正常场地球模型的离心力位相同。

所以地球的扰动位等于地球的引力位和正常场地球模型的引力位的差，因此扰动促

在大地水准面上及其外部空间满足拉普拉斯方程。

要想根据在大地水准面上给定的混合重力异常计算出扰动位，问题就归结为解扰动位的

拉普拉斯方程，使其满足给定的边界条件（5.3.6）式，即

5.4大地水准面的高度，斯托克斯公式

为了便于计算，斯托克斯对（5.3.7）式中的边界做了简化，把大地水准面边界简化为半径等于地球平均半径

的球面，这样，（5.3.7）式变为

为半径等于

的球面，此时，由于这种边界条件的简化，解满足（5.4.1）式求得的扰动位，其误差约为地球扁率的量级。

将半径为

的球面上的扰动位

展成球面函数，有

阶球面函数，因为地球的质量等于正常场地球模型的质量，并且坐标原点选在地球的质心，所以（5.4.2）式中

从2开始，根据（2.2-2.12）式，地球外的扰动位

将（5.4.3）式代入（5.4.1）式中的边界条件，得

将球面上给定的混合重力异常展成球面函数，根据（2.2-4.3）式，有

将（5.4.5）式代入（5.4.4）式，得

将（5.4.6）式代入（5.4.3）式，得

称为广义斯托克斯函数。

将（5.4.8）式代入（5.4.7）式，得

如图5.4.1所示，令

，根据勒让德多项式的生成函数（2.2-1.1）式，有

将广义斯托克斯函数（5.4.8）式写成

根据（5.4.10）式，有

而

将（5.4.15）式代入（5.4.13）式右侧的积分，得

将上式代入（5.4.16）式，得

将（5.4.12）式、（5.4.17）式代入（5.4.11）式，得出广义斯托克斯函数

，它等于

当

，即当

时，在半径为

的球面上，有

考虑到当

时，有

将（5.4.20）式代入（5.4.18）式，得出球面上的斯托克斯函数

球面上的斯托克斯函数

的数值如表5.4.1所示。

将（5.4.21）式代入（5.4.9）式，得出根据球面上混合重力异常计算球面上的扰动位

的关系式，即

将（5.4.22）式代入布隆斯公式（5.2.5）式，得出根据球面上的混合重力异常求大地水准面高度

的公式，即

为地球的平均正常重力，（5.2.5）式称为计算大地水准面高度的斯托克斯公式。

该式表明，球面上任一点的大地水准面的高度等于全球面上的混合重力异常与斯托克斯函数乘积在全球面上的积分，也就是说，要想根据斯托克斯公式（5.4.23）计算球面上任一点大地水准面的高度，需要知道全球面上的混合重力异常。

5.5温宁.曼乃兹（VeningMeinesz）垂线偏差公式

根据大地水准面上任一点

的垂线偏差南北分量

和东西分量

与扰动位

之间的关系式（5.2.10）式，有

为地球的平均重力，

为以

为坐标原点的局部直角坐标系

的两个水平坐标，

轴向北，

轴向东，在根据混合重力异常计算扰动位时，为了便于计算，把边界简化为半径为

的球面，在按照（5.5.1）式计算垂线偏差时，也采用这种简化的边界条件，把大地水准面简化为半径为

的球面。

此时，

点的半径方向，将球面上扰动位的表达式（5.4.9）式代入（5.5.1）式，得

从图5.5.1中可以看出

将（5.5.4）式代入（5.5.2）式，得

，根据（5.4.21）式，有