41任意角弧度制及任意角的三角函数Word文件下载.docx
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（3）扇形的弧长公式：
l＝|α|·
r，扇形的面积公式：
S＝
lr＝
|α|·
r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，
则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝
（x≠0）．
三个三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sinα
R
＋
－
cosα
tanα
{α|α≠kπ＋
，k∈Z}
4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1,0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线；
有向线段OM为余弦线；
有向线段AT为正切线
知识拓展
1．三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限内的符号：
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．任意角的三角函数的定义（推广）
设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝
，cosα＝
，tanα＝
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（ ×
）
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（ √ ）
（3）不相等的角终边一定不相同．（ ×
（4）若α为第一象限角，则sinα＋cosα>
1.（ √ ）
题组二 教材改编
2．[P10A组T7]角－225°
＝________弧度，这个角在第________象限．
答案 －
二
3．[P15T2]设角θ的终边经过点P（4，－3），那么2cosθ－sinθ＝________.
答案
解析 由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－
，cosθ＝
，所以2cosθ－sinθ＝2×
4．[P10A组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．
题组三 易错自纠
5．（2018·
秦皇岛模拟）下列与
的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2kπ＋45°
（k∈Z）B．k·
（k∈Z）
C．k·
－315°
（k∈Z）D．kπ＋
答案 C
解析 与
的终边相同的角可以写成2kπ＋
（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
6．集合
中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
解析 当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋
≤α≤2nπ＋
，此时α表示的范围与
≤α≤
表示的范围一样；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋
≤α≤2nπ＋π＋
，此时α表示的范围与π＋
≤α≤π＋
表示的范围一样，故选C.
7．已知角α（－π<
α<
0）的终边与单位圆交点的横坐标是
，则sinα＝________.
解析 由题意得，角α的终边与单位圆交点的坐标是
，∴sinα＝－
8．（2018·
济宁模拟）函数y＝
的定义域为______________．
解析 ∵2cosx－1≥0，
∴cosx≥
由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），
∴x∈
（k∈Z）．
题型一 角及其表示
1．设集合M＝
，N＝
，那么（ ）
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
答案 B
解析 由于M中，x＝
·
＋45°
＝k·
90°
＝（2k＋1）·
45°
，2k＋1是奇数；
而N中，x＝
＝（k＋1）·
，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
2．若角α是第二象限角，则
是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
解析 ∵α是第二象限角，
∴
＋2kπ<
π＋2kπ，k∈Z，
＋kπ<
<
＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，
是第一象限角；
当k为奇数时，
是第三象限角．
是第一或第三象限角．
3．（2018·
宁夏质检）终边在直线y＝
x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为________．
解析 如图，在坐标系中画出直线y＝
x，可以发现它与x轴的夹角是
，在[0,2π）内，终边在直线y＝
x上的角有两个：
，
π；
在[－2π，0）内满足条件的角有两个：
π，－
π，故满足条件的角α构成的集合为
思维升华
（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
（2）确定kα，
（k∈N*）的终边位置的方法
先写出kα或
的范围，然后根据k的可能取值确定kα或
的终边所在位置．
题型二 弧度制
典例
（1）（2017·
珠海模拟）已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．2B．1C.
D．3
答案 A
解析 设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，
∴扇形面积S＝
lR＝R（2－R）
＝－R2＋2R＝－（R－1）2＋1，
当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．
（2）若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为
r，∴圆心角的弧度数是
思维升华应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练
（1）（2018·
湖北七校联考）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A.
B.
C．3D.
答案 D
解析 如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝
∴AM＝
r，AB＝
r，
∴l＝
由弧长公式得α＝
（2）已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP（如图），则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．
答案 S1＝S2
解析 设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，
则
＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
∴S1＝
tm·
r－S扇形AOB，
S2＝
∴S1＝S2恒成立．
题型三 三角函数的概念及应用
命题点1 三角函数定义的应用
典例
（1）（2018·
山东重点中学模拟）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°
），且cosα＝－
，则m的值为（ ）
A．－
C．－
D.
解析 ∵r＝
∴cosα＝
＝－
∴m>
0，∴
，即m＝
（2）设θ是第三象限角，且
＝－cos
，则
C．第三象限角D．第四象限角
解析 由θ是第三象限角知，
为第二或第四象限角，
∵
，∴cos
0，
综上知，
为第二象限角．
命题点2 三角函数线的应用
典例函数y＝lg（2sinx－1）＋
的定义域为__________________．
解析 要使原函数有意义，必须有
即
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为
思维升华
（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；
已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
（2）利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．
跟踪训练
（1）（2017·
济南模拟）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析 ∵tanα<
0，cosα<
∴α在第二象限．
（2）（2017·
石家庄模拟）若－
，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是（ ）
A．sinα<
tanα<
cosαB．cosα<
sinα<
C．sinα<
cosα<
tanαD．tanα<
解析 如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，
观察可知sinα<
tanα.
数形结合思想在三角函数中的应用
典例
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C（2,1）时，
的坐标为________．
合肥调研）函数y＝lg（3－4sin2x）的定义域为________．
思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．
解析
（1）如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧
＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－
，所以PB＝sin
＝－cos2，
CB＝cos
＝sin2，设点P（xP，yP），
所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，
所以
＝（2－sin2,1－c
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