应力状态强度理论Word格式.docx
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处的切应力计算式为
式中：
—横截面上的扭矩；
—截面对圆心的极惯性矩；
—所求应力处离圆心的距离。
其中圆心处切应力为零，横截面的外边缘处切应力最大，其计算式为
称为抗扭截面系数。
圆轴扭转时的强度条件为
2．极惯性矩
和抗扭截面系数
，对于实心圆截面，它们分别为
和
对于空心圆截面
，是空心圆截面的内径
和外径
的比值。
3．圆轴扭转时的变形用相对扭转角表示，指轴的一个截面相对于另一个截面转过的角度，长度为l的等截面圆轴两端的相对扭转角为
单位长度扭转角为
圆轴扭转时的刚度条件为
1．6非圆截面杆的扭转
非圆截面杆扭转时横截面不再保持为平面，出现翘曲现象，故圆轴扭转的理论不再适用，具体经验公式见教材，本部分为了解内容。
图3－1
2重点与难点及解析方法
2.1圆轴扭转时的强度计算及刚度计算
圆轴扭转时，横截面上切应力位于该截面内，垂直于半径并沿半径线性分布，最大切应力在外表面处，各点均处于纯剪切应力状态。
用两截面之间的相对扭转角来表示扭转变形的程度，据此可建立圆轴扭转的强度条件和刚度条件，这是本章的重点内容，应熟练掌握。
解析方法：
1.强度计算和刚度计算包括三个方面：
校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。
以设计圆轴截面尺寸为例，应同时考虑强度条件和刚度条件，可以先按强度条件设计截面尺寸，然后校核刚度条件是否满足；
也可以先按刚度条件设计截面尺寸，然后校核强度条件是否满足。
或者，同时按强度和刚度条件设计截面尺寸，最后选两种情形下所得尺寸中之较大者。
一般情况下，对于圆轴其刚度条件更为重要。
2.在强度和刚度计算中，必须根据扭矩图判断何处扭矩最大，同时还要根据轴的直径和材料性能判断何处截面最弱，或刚度最小。
将二者加以综合考虑，尽可能找到最危险位置进行计算。
当有几个可能危险位置时，应同时进行计算，最后加以比较。
在强度条件中的最大切应力
max及刚度条件中的最大的单位长度扭转角
max，分别为整个轴内
与
的最大值。
3.圆轴的扭转变形量是相对扭转角，刚度条件用单位长度扭转角表示，计算时应注意这两概念的差别，还应注意刚度条件中单位长度扭转角的单位是°
/m。
空心圆轴扭转的强度条件中，抗扭截面系数
。
2.2切应力互等定理
在两个相互垂直平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离两个平面的交线。
这是本章的难点内容，注意理解并能熟练应用。
2.3简单扭转静不定问题
此类问题与拉压静不定问题求解方法相同，列出静力平衡方程、变形几何关系及物理关系联立求解。
关键是列变形几何关系，一般为某一截面的扭转角（或相对扭转角）等于零。
3典型问题解析
3.1圆轴扭转时的强度计算及刚度计算
例题3.1：
传动轴如图3-2（a）所示，主动轮A输入功率
马力，从动轮B、C、D输出功率分别为
马力，
马力，轴的转速为
试绘轴的扭矩图。
解：
根据外力偶矩公式计算各轮上的外力偶矩
因各截面上的扭矩不相等，将轴分为BC、CA、AD三段。
分别用截面法计算各段内的扭矩。
在BC段内，截面I—I上的扭矩为
，如图（b）所示。
由平衡方程
负号说明截面上的实际扭矩
与假定的方向相反。
在BC段内各截面上的扭矩不变，所以这一段内扭矩图为一水平线。
同理，在CA段内，由图（c）得
在AD段内，由图（d）得
把各截面上的扭矩沿轴线变化的情况用图（e）表示出来，即为扭矩图。
从图中可得，最大扭矩发生在CA段内，
图3－3
讨论：
对同一根轴，若把主动轮A放置在轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图如图3-3所示，这时轴的最大扭矩是
可见，传动轴上主动轮和从动轮放置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。
两者相比，显然图（e）所示布局比较合理。
解题指导：
扭矩图一般以横轴表示杆件横截面位置，纵轴表示扭矩大小。
并规定：
任一横截面上的扭矩，其扭矩矢量与横截面外法线方向一致者为正，反之为负。
传动轴的主动轮和从动轮的配置位置与轴各段的扭矩分配有关，在配置各轮位置时应注意，尽量提高轴的承载能力。
例题3.2：
图3－4（a）所示圆轴的长度为2l，l＝500mm，直径d＝150mm。
B、C两截面处承受外力偶分别为Me1＝10kN·
m，Me2＝8kN·
m。
已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa。
求：
1．试作轴的扭矩图；
2．求轴的最大切应力，并指出其所在位置；
3．求C截面对A截面的相对扭转角。
1．画扭矩图；
根据上例中所述之方法可画出扭矩图如图3－4（b）所示。
从图中可以看出，最大扭矩发生在BC段的各个截面上，其数值为8kN·
m（注意：
正负号只说明扭矩的方向）。
图3－4
2．求解最大切应力；
最大切应力发生在BC段各截面的外边缘上，如图3－4（c）所示。
其值为
3．计算相对扭转角；
在AB和BC中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截面（A和B，B和C）的相对扭转角为
但二者是反向的。
于是C截面相对于A截面的相对扭转角为
负号表示相对扭转角的方向与TBC的方向一致。
计算相对扭转角时，需要根据扭矩分段计算，有时还须考虑抗扭刚度
计算结果的正负号反映了扭转角的转向。
例题3.3：
图3－5所示传动机构中，AB轴的转速n1＝120转／分，从B轮上输入功率P＝20千瓦，此功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半传给水平轴H。
若锥齿轮A和D的齿数分别为36和12。
各轴的直径分别为d1＝60mm，d2＝25mm，d3＝40mm。
轴的许用切应力
＝90MPa。
试对各轴进行强度校核。
1．首先计算各轴所承受的扭矩；
C轴
H轴
图3－5
各轴所传递的功率分别为
各轴的转速分别为
n1=n3=120转/分
则各轴所受的外力偶矩分别为
根据截面法，各轴的扭矩均与作用于轴上的外力偶矩相等。
2．强度校核；
AB轴
所以各轴的强度都是满足的。
例题3.4：
如图3-6所示，钻探机钻杆的外径D=70mm，内径d=50mm，功率P=10kW，转速n=150r/min，钻杆钻土深度达h=50m，材料的切变模量G=80GPa，许用扭转切应力[τ]=40MPa，假设土壤对钻杆的阻力沿杆长度均匀分布。
试求：
1）土壤对钻杆单位长度上的阻力矩m；
2）作钻杆的扭矩图；
3）校核钻杆的强度；
4）钻杆B截面的扭转角。
1．计算钻杆单位长度上受到土壤的阻力矩
钻杆上所承受的总外力偶矩为
因为土壤对钻杆的阻力矩沿杆长方向均匀分布，所以土壤对钻杆单位长度上的扭力矩为
图3－7
2．作钻杆的扭矩图；
因为自B至A外力矩均匀分布，因此距B端x远处任意截面上的扭矩为
由此，可以作出钻杆之扭矩图如图3－7所示。
3．校核钻杆的强度；
由扭矩图可知，钻杆内最大扭矩
，于是杆内的最大切应力
所以钻杆的强度是满足的。
4．计算B截面的扭转角
根据
将
代入上式，积分得到
当轴上扭矩为线性分布时，计算相对扭转角可先计算dx微段内的微扭转角dφ，将各微扭转角沿长度方向积分即得到间距为l的两截面的相对扭转角。
例题3.5：
一厚度为
，长度为
的薄板，卷成直径为
的圆环，并承受力偶矩
（1）板边自由的情况下（图a），开口薄壁圆环的切应力与扭转角；
（2）将板边焊在一起后（图b），闭口薄壁圆环的切应力与扭转角。
图3－8
1.开口薄壁圆环的切应力与扭转角
在板边自由的情况下，可把环形展直，看作狭长矩形。
于是，由矩形截面杆的扭转公式，得最大切应力
对于薄壁杆件，
，查表可得
相对扭转角
查表可得，
，
所以
2.闭口薄壁圆环的切应力与扭转角。
薄壁圆环内的切应力为
相对扭转角
对于薄壁圆环，其极惯性矩
开口薄壁圆环与闭口薄壁圆环比较：
最大切应力
即开口薄壁圆环的切应力和扭转角比闭口薄壁圆环的大得多，因此在使用上是不利的。
例题3.6：
一内径d＝100mm的空心薄壁圆轴，如图3－9所示。
已知圆轴承受扭矩T＝5kN.m，许用切应力[τ]＝80MPa，试确定空心圆轴的壁厚t。
1.用薄壁圆筒扭转公式计算；
由于壁厚很薄，假设横截面上的切应力均匀分布，由薄壁圆筒的切应力公式知
式中R＝（d+t）/2为平均半径。
代入强度条件得
解之得t＝3.70mm
2.用空心圆轴扭转切应力公式计算。
圆轴扭转切应力强度条件为
式中
，D＝d+2t
代入数据，解之得D=107.66mm
由本例可以看出，对于薄壁空心圆轴，用薄壁圆筒扭转切应力近似公式和圆轴扭转切应力公式计算的结果是非常接近的。
3.2简单扭转静不定问题
例题3.7：
图3－10（a）所示等截面实心圆轴，已知外力偶矩MeB=400N.m,MeC=600N.m，轴材料的G=80GPa，[τ]=40MPa，[φ]=0.25。
试设计轴的直径。
设A、D两处的约束力偶为
、
列平衡方程为
（1）
其中有两个未知约束力偶，故为一次静不定问题。
因A、D两端为固定端，可写出变形协调方程为
（2）
物理方程为
（3）
以上三式联立解得MA=20N.m,MD=220N.m，由此作出轴的扭矩如图3－10（b）所示。
轴上的最大扭矩
强度条件
刚度条件
圆轴直径取
求解静不定问题的关键是列出补充方程，即变形协调方程。
例题3.8：
两个长度相等的钢管套在一起。
外管之外径与内径分别为D1＝100mm，d1＝90mm；
内管之外径与内径分别为D2＝90mm，d2＝80mm。
当内管承受扭矩T＝2kN·
m作用时，将两管的端部焊在一起，然后去掉扭矩。
问：
此时管内将产生什么样的应力，画出组合管横截面上的应力分布图，并计算最大应力的数值，说明其作用位置。
图3－11
①—内管受扭前位置；
②—
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