高中数学 必修4讲义第一章 12 121 第一课时 三角函数的定义与公式一 Word版含答案Word格式文档下载.docx

高中数学 必修4讲义第一章 12 121 第一课时 三角函数的定义与公式一 Word版含答案Word格式文档下载.docx

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一三象限正，二四象限负．

简记口诀：

一全正、二正弦、三正切、四余弦．

3．诱导公式一

即终边相同的角的同一三角函数值相等．

[点睛]　诱导公式一的实质是：

终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）若α＝β＋720°

，则cosα＝cosβ.（　　）

（2）若sinα＝sinβ，则α＝β.（　　）

（3）已知α是三角形的内角，则必有sinα>

0.（　　）

答案：

（1）√　

（2）×

　（3）√

2．若sinα<

0，tanα>

0，则α在（　　）

A．第一象限　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

C

3．已知角α的终边与单位圆的交点P

，则sinα＋cosα＝（　　）

A．

B．－

C．

D．－

B

4．sin

＝________，cos

＝________.

　－

三角函数的定义及应用

[典例]　设a<

0，角α的终边与单位圆的交点为P（－3a,4a），那么sinα＋2cosα的值等于（　　）

　　　　　　　　B．－

[解析]　∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.

即

＝1，解得a＝±

.

∵a<

0，∴a＝－

∴P点的坐标为

∴sinα＝－

，cosα＝

∴sinα＋2cosα＝－

＋2×

＝

[答案]　A

利用三角函数的定义求值的策略

（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：

法一：

先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

法二：

在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r>

0）．则sinα＝

.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．

（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

[活学活用]

1．如果α的终边过点P（2sin30°

，－2cos30°

），那么sinα的值等于（　　）

C．－

D．－

解析：

选C　由题意知P（1，－

），

所以r＝

＝2，

所以sinα＝－

2．已知角α的终边过点P（12，a），且tanα＝

，求sinα＋cosα的值．

解：

根据三角函数的定义，tanα＝

，

∴a＝5，∴P（12,5）．这时r＝13，

∴sinα＝

，从而sinα＋cosα＝

三角函数值符号的运用

[典例]　

（1）若角θ同时满足sinθ<

0且tanθ<

0，则角θ的终边一定位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

（2）设α是第三象限角，且

＝－cos

，则

所在象限是（　　）

[解析]　

（1）由sinθ<

0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tanθ<

0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．

（2）∵α是第三象限角，

∴2kπ＋π<

α<

2kπ＋

，k∈Z.

∴kπ＋

<

kπ＋

∴

在第二、四象限．

又∵

，∴cos

0.

在第二象限．

[答案]　

（1）D　

（2）B

对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．

1．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是（　　）

A．tanA与cosBB．cosB与sinC

C．sinC与tanAD．tan

与sinC

选D　∵0＜A＜π，∴0＜

＜

，∴tan

＞0；

又∵0＜C＜π，∴sinC＞0.

2．若角α是第二象限角，则点P（sinα，cosα）在第________象限．

∵α为第二象限角，

∴sinα＞0，cosα＜0.

∴P（sinα，cosα）位于第四象限．

四

诱导公式一的应用

[典例]　计算下列各式的值：

（1）sin（－1395°

）cos1110°

＋cos（－1020°

）sin750°

；

（2）sin

＋cos

·

tan4π.

[解]　

（1）原式＝sin（－4×

360°

＋45°

）cos（3×

＋30°

）＋cos（－3×

＋60°

）sin（2×

）

＝sin45°

cos30°

＋cos60°

sin30°

×

＋

（2）原式＝sin

tan（4π＋0）＝sin

0＝

利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤

求下列各式的值：

（1）sin

＋tan

（2）sin810°

＋cos360°

－tan1125°

＝sin

＋1.

＝sin（2×

＋90°

）＋cos（360°

＋0°

）－tan（3×

＝sin90°

＋cos0°

－tan45°

＝1＋1－1

＝1.

层级一　学业水平达标

1．若α＝

，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是（　　）

　　　　　　　B．

D．

选B　设P（x，y），∵角α＝

在第二象限，

∴x＝－

，y＝

∴P

2．若角α的终边上一点的坐标为（1，－1），则cosα为（　　）

A．1B．－1

选C　∵角α的终边上一点的坐标为（1，－1），它与原点的距离r＝

，∴cosα＝

3．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ<

0，则此三角形必为（　　）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．以上三种情况都可能

选B　∵sinαcosβ<

0，α，β∈（0，π），

∴sinα>

0，cosβ<

0，∴β为钝角．

4．代数式sin120°

cos210°

的值为（　　）

A．－

B．

选A　利用三角函数定义易得sin120°

＝－

，∴sin120°

，故选A.

5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sinα等于（　　）

A．±

B．±

C．±

D．±

选C　在α的终边上任取一点（－1,2），则r＝

，所以sinα＝

.或者取P（1，－2），则r＝

6．tan

tan

＝tan

7．已知角α的终边过点P（5，a），且tanα＝－

，则sinα＋cosα＝________.

∵tanα＝

，∴a＝－12.

∴r＝

＝13.

∴sinα＋cosα＝－

－

8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则

当α在第二象限时，

＝0；

当α在第四象限时，

＝0.

综上，

9．求下列三角函数值：

（1）cos（－1050°

）；

（2）tan

（3）sin

（1）∵－1050°

＝－3×

∴cos（－1050°

）＝cos（－3×

）＝cos30°

（2）∵

＝3×

2π＋

∴tan

（3）∵－

＝－4×

∴sin

10．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－

，求cosα和tanα的值．

设点M的坐标为（x1，y1）．

由题意，可知sinα＝－

，即y1＝－

∵点M在圆x2＋y2＝1上，

∴x

＋y

＝1，

即x

2＝1，

解得x1＝

或x2＝－

∴cosα＝

或cosα＝－

∴tanα＝－1或tanα＝1.

层级二　应试能力达标

1．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>

0，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－2,3]　　　　　　　B．（－2,3）

C．[－2,3）D．[－2,3]

选A　由cosα≤0，sinα>

0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有

即－2<

a≤3.

2．给出下列函数值：

①sin（－1000°

②cos

③tan2，其中符号为负的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

选B　∵－1000°

＋80°

∴－1000°

是第一象限角，则sin（－1000°

）>

0；

∵－

是第四象限角，∴cos

>

∵2rad＝2×

57°

18′＝114°

36′是第二象限角，∴tan2<

0.故选B.

3．若tanx<

0，且sinx－cosx<

0，则角x的终边在（　　）

选D　∵tanx<

0，∴角x的终边在第二、四象限，又sinx－cosx<

0，∴角x的终边在第四象限．

4．已知角α的终边经过点P（m，－6），且cosα＝－

，则m＝（　　）

A．8B．－8

C．4D．－4

选B　由题意r＝|OP|