人教a版高中数学必修五全册配套模块能力检测卷bWord文档格式.docx
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或S△ABC=
sin30°
=16
2.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )
A.△A1B1C1是△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1是△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
解析 本题使用特殊值法.
方法一 设△A2B2C2三内角为120°
,30°
,△A1B1C1三内角为60°
,60°
,则sin120°
=cos60°
方法二 △A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,
则△A1B1C1是锐角三角形,
若△A2B2C2是锐角三角形,由
得
所以△A2B2C2是钝角三角形.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=15-a5,则S9等于( )
A.60B.45
C.36D.18
答案 B
解析 a2+a8=2a5=15-a5,∴a5=5,S9=9a5=45.
4.数列{an}中,a3=2,a7=1,数列{
}是等差数列,则a11等于( )
A.
B.
C.0D.-
解析 ∵{
}是等差数列,∴
+
又a3=2,a7=1,∴代入后可解得a11=
5.已知等比数列{an}的公比q=2,则
的值为( )
C.
D.1
答案 A
解析
或
6.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于( )
A.2n+1-2B.3n
C.2nD.3n-1
答案 C
解析 ∵an=2·
qn-1,∴an+1=2qn-1+1.
∵{an+1}是等比数列,
∴
为常数,仅当q=1时,符合题意;
∴Sn=2n,当q≠1时
不为常数.
故答案为C.
7.若a>
b>
0,则下列不等式总成立的是( )
A.
>
B.a+
b+
C.a+
D.
解析 由a>
0⇒0<
<
⇒a+
8.下列各式:
①a2+1>
2a,②|x+
|≥2,③
≤2,④x2+
≥1.其中正确的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析 ∵|x+
|=|x|+
≥2,
且x2+
=(x2+1)+
-1≥1,
∴②④正确.
9.设集合A={x|x2-x-6>
0},B={x|(x-k)(x-k-1)<
0},若A∩B=∅,则k的取值范围是( )
A.{k|k<
-3或k>
1}B.{k|-2<
k<
2}
C.{k|k<
-2或k>
2}D.{k|-3≤k≤1}
解析 A={x|x2-x-6>
0}={x|x<
-2或x>
3},
B={x|k<
x<
k+1},若A∩B≠∅,则k+1>
3或k<
-2.
10.设变量x,y满足约束条件
则目标函数z=4x+y的最大值为( )
A.4B.11
C.12D.14
解析 只需画出线性规划区域,如下图.
可知,z=4x+y在A(2,3)处取得最大值11.
11.(2012·
湖北)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且A>
B>
C,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为( )
A.4∶3∶2B.5∶6∶7
C.5∶4∶3D.6∶5∶4
解析 由题意可设a=b+1,c=b-1.又∵3b=20a·
cosA,∴3b=20(b+1)·
,整理得,7b2-27b-40=0,解得b=5,故a=6,b=5,c=4,即sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4.
12.(2012·
新课标)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为( )
A.3690B.3660
C.1845D.1830
解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1,
∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=115-a1.
∴a1+a2+…+a60
=(a1+a2+a3+a3)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)
=10+26+42+…+234=
=1830.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)
13.数列{an}的前n项和为Sn=3n2+n+1,则此数列的通项an=________.
答案 an=
解析 n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-2,
上式中n=1时,a1=6×
1-2=4,而S1=5,
∵a1≠S1,∴an=
14.已知a,b,c分别为△ABC的三边,且3a2+3b2-3c2+2ab=0,则tanC=________.
答案 -2
解析 cosC=
=-
∴C>
90°
,sinC=
,∴tanC=
=-2
15.观察下面的数阵,则第20行最左边的数是________.
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … …
答案 362
解析 由题得每一行数字个数分别为a1=1,a2=3,a3=5,…,an=2n-1,它们成等差数列,
则前19行总共有
=361个数,
因此第20行最左边的数为362.
16.(2013·
陕西)
在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:
m)的取值范围是________.
答案 [10,30]
解析 设矩形另一边长为y,如图所示.
,则x=40-y,y=40-x.由xy≥300,即x(40-x)≥300,解得10≤x≤30.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边,若△ABC面积为
,c=2,A=60°
,求a、b及角C的值.
解析 因为S=
bcsinA=
,所以
b·
2sin60°
,得b=1.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
所以a2=12+22-2×
1×
2cos60°
=3,则a=
又由正弦定理
sinC=
=1,∴C=90°
18.(12分)山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°
,在塔底C处测得A点的俯角β=45°
,已知塔高为60m,求山高.(精确到1m)
如图所示,在△ABC中,由正弦定理,得
⇒
⇒AC=
=120cos15°
在△ADC中,CD=AC·
sin∠CAD=120×
cos15°
sin45°
≈82(m).
19.(12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,
是
与(an+1)2的等比中项.
(1)求证:
数列{an}是等差数列;
(2)若bn=
,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
(1)证明 由
与(an+1)2的等比中项,
得Sn=
(an+1)2.
当n=1时,a1=
(a1+1)2,∴a1=1.
当n≥2时,Sn-1=
(an-1+1)2,
∴an=Sn-Sn-1=
(a
-a
+2an-2an-1),
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
∵an>
0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2.
∴数列{an}是等差数列.
(2)解析 数列{an}首项a1=1,公差d=2,
通项公式为an=2n-1.
则bn=
,则Tn=
+…+
.①
两边同乘以
Tn=
.②
①-②,得
Tn=2×
(
)-
-
=2×
解得Tn=3-
20.(12分)若a≠0,解关于x的不等式:
x+2<
a(
+1).
解析 原不等式可化为
0⇔(x+2)x(x-a)<
0,
(1)当a≤-2时,解集为(-∞,-a)∪(-2,0);
(2)当-2<
a<
0时,解集为(-∞,-2)∪(a,0);
(3)当a>
0时,解集为(-∞,-2)∪(0,a).
21.(12分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
解析 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,
由题意知
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.作直线l0:
x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线x+0.5y=0的距离最大,这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.
解方程组
得x=4,y=6.
此时z=1×
4+0.5×
6=7(万元).
∵7>
0,∴当x=4,y=6时z取得最大值.
所以,投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.
22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·
Sn-1=0(n≥2),a1=
{
}是等差数列;
(2)求an的表达式;
(3)若bn=2(1-n)an(n≥2),求证:
b
+b
+…+b
1.
(1)证明 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
又an+2Sn·
Sn-1=0,所以Sn-Sn-1+2Sn·
Sn-1=0.
若Sn=0,则a1=S1=0与a1=
矛盾.
故Sn≠0,所以
=2.
又
=2,所以{
}是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解析 由
(1)得
=2+(n-1)·
2=2n,
故Sn=
(n∈N+).
当n≥2时,an=-2Sn·
Sn-1=-2·
·
;
所以an=
(3)证明 当n≥2时,
bn=2(1-n)·
an=2(1-n)·