深圳市高三年级第二次调研考试数学理试题与答案Word下载.docx
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不一定是真命题D.命题
与命题
同真同假
3.在△ABC中,若
,则
是
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定
4.直线
与圆C:
的位置关系是
A.相交B.相切C.相离D.不确定
5.如图1,是一个空间几何体的三视图,其主(正)视图是一个边长为2的正三角形,俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形,左(侧)视图是一个两直角边分别为
和1的直角三角形,则此几何体的体积为
A.
B.1
C.
D.2
6.设
,
,则以下不等式中,不恒成立的是
B.
C.
D.
7.已知
是实数,则函数
的导函数的图象可能是
8.将长度为1的线段随机折成三段,则三段能构成三角形的概率是
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9.设全集
,则a的值为.
10.在
的展开式中,
项的系数是.
11.已知双曲线
的两条渐近线的夹角为
,则双曲线的离心率为
.
12.给出以下一个算法的程序框图(图2),如果
,则输出的结果是.(注:
框图中的的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:
=”)
13.设
是边长为
的正
内的一点,
点到三边的距离分别为
;
类比到空间,设
是棱长为
的空间正四面体
内的一点,则
点到四个面的距离之和
=.
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中,若圆
的极坐标方程为
,若以极点为原点,以极轴为
轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系
中,则在直角坐标系中,圆心
的直角坐标是.
15.(几何证明选讲选做题)
如图3,在
中,
,以
为直径作半圆交
于
,过
作半圆的切线交
,若
=.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知
,设
.
(1)求函数
的最小正周期及其单调递增区间;
(2)若
分别是锐角
的内角
的对边,且
,试求
的面积
17.(本小题满分12分)
上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》,因其诞生于大芬村,因此被命名为《大芬丽莎》.某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师,测得画师年龄情况如下表所示.
(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?
并在答题卡中补全频率分布直方图(图4),再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在
岁的人数(结果取整数);
(2)在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动,其中选取2名画师担任解说员工作,记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
分组
(单位:
岁)
频数
频率
5
0.050
①
0.200
35
②
30
0.300
10
0.100
合计
100
1.00
18.(本小题满分14分)
如图5,四边形
是圆柱
的轴截面,点
在圆柱
的底面圆周上,
的中点,圆柱
的底面圆的半径
,侧面积为
(1)求证:
(2)求二面角
的平面角的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设函数
(
).
(1)若函数
在其定义域内是减函数,求
的取值范围;
(2)函数
是否有最小值?
若有最小值,指出其取得最小值时
的值,并证明你的结论.
20.(本小题满分14分)
已知抛物线
:
的焦点为
,过点
作直线
交抛物线
、
两点;
椭圆
的中心在原点,焦点在
轴上,点
是它的一个顶点,且其离心率
(1)求椭圆
的方程;
(2)经过
两点分别作抛物线
的切线
,切线
与
相交于点
.证明:
(3)椭圆
上是否存在一点
,经过点
作抛物线
的两条切线
为切点),使得直线
过点
?
若存在,求出抛物线
与切线
所围成图形的面积;
若不存在,试说明理由.
21.(本小题满分14分)
设
是数列
的前
项和,且
和
的等差中项.
(1)求数列
的通项公式;
(2)当
均为正整数)时,求
的所有可能的乘积
之和
(3)设
,求证:
2010年深圳市高三年级第二次调研考试
数学(理科)参考答案及评分标准
说明:
1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2、对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;
如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
6
7
8
答案
D
B
C
9.2.10.
.11.
.12.
(填
也算对).13.
14.
.15.
(本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识,考查化归转化的数学思想和运算求角能力)
解:
由已知可知
.……………
分
(1)
的最小正周期是
.…………
由
(
),
解得
).
所以
的单调递增区间是
(
).…………
(2)∵
,即
∴
∵
是锐角三角形.
∴
,∴
而
,………
∴
.…………
.(本小题满分
分)
(本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识,考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)
(1)①处填20,②处填0.35;
507个画师中年龄在
的人数为
人……………3分
补全频率分布直方图如图所示.
…………6分
(2)用分层抽样的方法,从中选
取20人,则其中“年龄低于30岁”
的有5人,“年龄不低于30岁”
的有15人。
……7分
故ξ的可能取值为0,1,2;
…………………10分
所以ξ的分布列为
ξ
P
…………11分
所以:
…………12分
(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识,考查数形结合、化归转化的数学思想和方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
解:
(1)(解法一):
由题意可知
,
解得
,…………
在
,…………
∴
又∵
的中点,
. ①…………
∵
为圆
的直径,
.
由已知知
.②
∴由①②可知:
.…………
(2)由
(1)知:
是二面角
的平面角.…………
.………
(解法二):
建立如图所示的直角坐标系,
由题意可知
解得
.
则
∵
∴可求得
(1)
(2)由
(1)知,
,
.
∵
是平面
的法向量.…………
的法向量,
由
…………
所以二面角
的平面角的余弦值
(考查函数和方程、函数与导数、不等式的求解等知识,考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思想和方法、推理论证能力和运算求解能力)
(1)∵
在
上是减函数,
恒成立.…………
又∵当
时,
∴不等式
时恒成立,
即
时恒成立,…………
设
,则
(2)∵
令
,解得:
由于
,…………
①当
即
时,在
上
∴当
时,函数
上取最小值.……
②当