初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析..docx
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初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：
一）已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
P
A
A
m
m
B
B
B
P
（2）点A、B在直线同侧：
A
A
B m
m
A'
A、A’是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：
A
m
A
m
P' P
n Q' Q n
B
B
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
m
A
mP
B
B n
Q
nB'
（3）两个点都在内侧：
A
m A' m
A
P
B B
n Q n
B'
n
（4）台球两次碰壁模型 A' A
变式一：
已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、
D
E
B m分别上求点D、E点，
m
B'
使得围成的四边形ADEB周长最短.
n
A
B
m
填空：
最短周长=
变式二：
已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
A
n n
A'
A
Q
m
P m
二）一个动点，一个定点：
A"
（一）动点在直线上运动：
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
n B n
m P m
A A
2、两点在直线同侧：
B
A
P
n
n
A m
m
A'
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
O
O
B'
B
P
P'
m 2、点与圆在直 m
A 线同 A O
O
侧：
B A
A P m
m A'
（三）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
（原理用平移知识解）
（1）点A、B在直线m两侧：
P
Q
A C
A
m
m
P Q
B B
过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
E
（2）点A、B在直线m同侧：
B
P
Q
B
A A
m m
P Q
B'
二、求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边）基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
A
B
（1）点A、B在直线m同侧：
A
B
m
m P P'
解析：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
A
A B'
m P' P m
B B
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