初三几何模型应用之线段和的最小值.docx
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初三几何模型应用之线段和的最小值
几何模型----之”线段和”的最小值求法姓名_____
求线段和的最小值有代数法模型——构造函数（二次函数）模型求最值方法；
也有几何模型：
“将军饮马”模型；“胡不归模型”;“阿氏圆”;费马点等
理论基础：
三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，两点之间线段最短，圆内（或外）一点与圆上一动点的最短（或长）的连线段必过圆心，“折”大于“直”，“斜”大于“直”等思想方法。
一、“将军饮马”模型
“将军饮马”：
把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称点A′（或B′），连接A′B（或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。
1、在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴与y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。
2、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为（）
A．6B．8C．10D．12
3、如图，在矩形中，，.动点满足.则点到，两点距离之和的最小值为（）
A．B．C.D．
4、如图8，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E.
（1）求DE所在直线的解析式；
（2）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个，并求出所有满足条件的点P的坐标；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？
如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.
4、如图，直线y＝kx＋b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（－4，0）、B（0，3），抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx＋b的解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．
A
B
C
O
y=kx+b
y＝－
x
2
+2
x
+1
·
P
（
x
，
y
）
5、如图，抛物线交y轴于点B，点A为x轴上的一点，OA=2，过点A作直线交抛物线于M，N两点，
（1）求直线AB的解析式；
（2）连接BM，BN，P为抛物线BN段上的一动点，是否存在这一点，使得四边形MBPN的面积最大，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A、N、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）将线段AB沿y轴负方向平移t个单位长度，得到线段A1B1，求MA1+MB1取最小值时实数t的值。
（逆向思维，点M竖直向上运动）
二、“胡不归”模型
【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n＝2，则时间t＝＋，当a为定值时，问题转化为：
在BC上确定一点D，使得AD＋的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．
（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：
DE＝；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′，并说明理由．
【问题解决】
（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．
【模型运用】
（4）如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB＝300m，BC＝300m．救生员在C点处发现标志A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到达A处的最短时间．
【套路归纳】
①将所求线段和改写为“PA＋PB”的形式（＜1）；
②在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα＝；
③过A作第②步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．
【套路练习】
1．如图，△ABC中，BC=2,∠ABC=300，则2AC+AB的最小值为____
2.如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：
消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）
2．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
3.已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为），点C的坐标为（-1,0），若P为线段OA上一动点，则最小值是．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN＝5ON．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿
段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在
图1图2
整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．
4．如图，抛物线y＝x2＋mx＋n与直线y＝－x＋3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC
已知A（0，3），C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在
（1）条件下，设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为________。
（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。
1 若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；
2 连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。
6、已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
※
（2）若在第三象限内的点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在
（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
7、如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：
四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：
已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似+两点间线段最短解决线段之和的最值问题。
问题提出：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，
连结AP，BP，求AP＋BP的最小值．
C
B
P
D
图3
P
B
D
O
C
A
图2
图1
C
B
P
尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：
如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1
则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，
∴AP＋BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：
AP＋BP的最小值为．
自主探索：
在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为．
拓展延伸：
已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，
求2PA＋PB的最小值.
如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．
2、如图，点A、B在⊙O上，且OA=OB=12，OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10，动点P在⊙O上，则PC+PD的最小值为？
3、如图，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，则AP+BP的最小值为____
4、如图，点C（2，5），A（7，0），点B是以点C为圆心半径为的圆上一动点，则OB+的最小值为_______
3、如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在
（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连
图1图2
E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．
费马点：
是指位于三角形（或四边形等）内且到三角形（或四边形等）三个顶点距离之和最短的点
例：
在等腰直角三角形ABC中，腰长为2，点P是三角形ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为_____
1、已知在正方形ABCD内有一点P，若PA+PB+PC的最小值为，求正方形的边长？
2、如图，在Rt△AOC中，∠A=30°，点O（0，0），C（1，0），点A在y轴正半轴上，以AC为一边做等腰直角△ACP，使得点P在第一象限。
（1）求出所有符合题意的点P的坐标；
（2）在△AOC内部存在一点Q，使得AQ、OQ、CQ之和最小，请求出这个和的最小值。
C
A
x
O
y
2、
（1）阅
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